Svārstības

Svārstības jeb oscilācijas ir kustības, kuras precīzi vai aptuveni atkārtojas pēc noteiktiem laika intervāliem. Ja kustība atkārtojas precīzi, tad tādu kustību sauc par periodisku kustību. Dabā visbiežāk svārstības ar laiku pavājinās (norimst).

Svārstību veidi

Svārstības var iedalīt, izmantojot dažādas pazīmes.

Daži svārstību veidi pēc novirzes maiņas rakstura: sinusoidālas, kvadrāta, trijstūra, zāģveida svārstības

Pēc fizikālās dabas izšķir šādas svārstības:

• mehāniskās, kad fizikāls ķermenis periodiski novirzās;
• elektriskās, to izpausme ir maiņstrāva, tās apraksta, izmantojot svārstību kontūru, elektriskās svārstības sastopamas tādās ierīcēs kā Ārmstronga oscilators, multivibrators, bloķējošais oscilators, Batlera oscilators, Klapa oscilators, Kolpica oscilators, aizkavēšanas līnijas oscilators, elektroniskais oscilators, paplašinātās mijiedarbības oscilators, Hārtlija oscilators, oscilistors, fāžu nobīdes oscilators, Pīrsa oscilators, relaksācijas oscilators, Rojera oscilators, Vačkara oscilators, Vina tilta oscilators;
• elektriski mehāniskās, piemēram, kvarca rezonatorā;
• optiskās — lāzers, Todas oscilators;
• bioloģiskās, starp kurām ir cirkādes ritms, cirkādes oscilators, Lotkas—Volteras vienādojumi, neirālās svārstības, svārstīgie gēni, segmentācijas pulkstenis;
• atsevišķi no bioloģiskajām svārstībām var izdalīt cilvēciskās — hormonu svārstības, piemēram, insulīna svārstības, pilotinducētās svārstības, balss (arī mehāniskās svārstības);
• saimnieciskās (ekonomiskās) un sabiedriskās (sociālās), kā ekonomiskie cikli, paaudžu atstarpe, maltusiānās norises sabiedrībā;
• klimatiskās un ģeofiziskās — Atlantijas desmitgažu svārstības, citu okeānu klimata svārstības, Čandlera svārstības, klimata svārstības;
• astrofiziskās, tostarp cikliskais modelis, neitronu zvaigznes svārstības;
• kvantu mehāniskās — kvantu harmoniskais oscilators (var arī attiecināt pie optiskajām svārstībām), neitrālo daļiņu svārstības;
• ķīmiskās, kas izpaužas kā Belousova—Žabotinska reakcija, dzīvsudraba pukstošā sirds, Brigsa—Raušera reakcija, Breja—Lībhafski reakcija;
• informātiskās — oscilators (šūnu automāts).

Pēc novirzes maiņas rakstura (pēc svārstību grafika formas) var tikt izšķirtas gadījuma, rimstošas, augošas, pēc amplitūdas modulētas, pēc frekvences modulētas un citas svārstības.

Mehāniskās svārstības

Mehāniskās svārstības ir kustība, kad ķermenis periodiski novirzās gan uz vienu, gan uz otru pusi. Ir divu pamatveidu mehāniskās svārstības: brīvās svārstības un uzspiestās svārstības. Kā atsevišķu gadījumu izdala harmoniskās svārstības, kas var būt kā brīvas, tā arī uzspiestas. Tāpat pēc tā, vai svārstošais ķermenis atrodas virzes vai griezes kustībā, var izšķirt virzes un griezes svārstības.

Mehānisko svārstību piemēri ir šūpoles, stīgu instrumenti un kamertonis, atsperes svārsts, Vilberforsa svārsts, Fuko svārsts, dubultais svārsts, Helmholca rezonators, zemestrīces, zvaigžņu svārstības (helioseismoloģija, astroseismoloģija, griezes vibrācija, svārsta pulkstenis.

Brīvas nerimstošas svārstības

Brīvās svārstības

Brīvās svārstības ir svārstības, kuras sistēmā rodas iekšējo spēku iedarbībā pēc tam, kad tā tiek izvirzīta no līdzsvara stāvokļa. Brīvo svārstību atsevišķi gadījumi:

• nerimstošas brīvas svārstības jeb pašsvārstības (iespējamas sistēmā, kurā darbojas tikai konservatīvie spēki),
• rimstošas brīvas svārstības (visas brīvās svārstības, kas nav nerimstošas).

Lai sistēmā varētu izraisīties brīvās svārstības, nepieciešami divi nosacījumi:

1. Izvirzot ķermeni no līdzsvara stāvokļa, sistēmā jārodas spēkam, kas vērsts uz līdzsvara stāvokli un tādējādi cenšas atgriezt ķermeni līdzsvara stāvoklī.
2. Berzei sistēmā jābūt pietiekami mazai, pretējā gadījumā svārstības ātri norimst vai pat vispār nerodas. Nerimstošas svārstības iespējamas tikai tad, ja nav berzes.

Brīvo svārstību piemēri: a) pie atsperes piestiprināta ķermeņa svārstības (atsperes svārsts) b) diegā iekārta ķermeņa (svārsta) svārstības.

Svārstību kustības dinamika

Ķermeņa kustības vienādojums, ja ķermenis svārstās elastības spēka ietekmē
Ķermeņa paātrinājuma projekcija a ir tieši proporcionāla tā koordinātai x, kas ņemta ar pretēju zīmi.
$a=-{\frac {k}{m}}x\$,

kur a — paātrinājuma projekcija uz x asi; k — atsperes stinguma koeficients; m — masa.
Matemātiskā svārsta kustības vienādojums
Matemātiskais svārsts ir idealizēts svārsts, kuru veido neizstiepjamā bezmasas diegā iekārts materiāls punkts. Šāda svārsta gadījumā

$a=-{\frac {g}{l}}s\$,

kur g — brīvās krišanas paātrinājums; l — diega garums; s — loka garums.

Svārstību periods $T$ šādam svārstam:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Brīvas rimstošas svārstības

Fiziskā svārsta kustības vienādojums

Neidealizētu svārstu sauc par fizisko svārstu, tas ir jebkurš ķermenis, kas nostiprināts iekarē un var svārstīties. Matemātiskā svārsta periods ir atkarīgs tikai no svārsta garuma, bet fiziskā svārsta periodu ietekmē ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi (ķermeņa masas izvietojums). Ja svārstību amplitūda ir neliela, šāda svārsta periods

$T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgR}}}$,

kur $J$ ir inerces moments, $m$ ir masa, $R$ ir masas centra attālums līdz rotācijas asij. Izmantojot fiziskā svārsta nosacīto garumu $l'={\frac {J}{mR}}$, fiziskā svārsta perioda izteiksmi var uzrakstīt līdzīgi kā matemātiskajam svārstam:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l'}{g}}}$.

Rimstošas svārstības

Rimstošu svārstību koordinātas x atkarība no laika t

Rimstošas svārstības ir svārstības ar berzi. Berzes (pretestības) spēka $F_{b}$ dēļ svārstību amplitūda pakāpeniski samazinās. Rimstošo svārstību sistēma ir lineārs oscilators ar berzi. Parasti uzskata, ka berzes spēks ir proporcionāls ātrumam ($F_{b}\sim v$), tad svārstību amplitūda samazinās eksponenciāli un svārstību formula ir

$x=X_{max}e^{-\gamma t}cos\omega t$,

kur $\gamma$ ir rimšanas koeficients. Lēni rimstošām svārstībām $\gamma \ll \omega _{0}$, kur $\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$. Neievērojot pretestības spēkus, $\omega \approx \omega _{0}$.

Laiku, kurā svārstību amplitūda samazinās e (naturāllogaritma bāze) reizes, sauc par oscilatora laika konstanti $\tau ={\frac {1}{\gamma }}$. No svārstību sākšanās momenta $t_{0}$ līdz momentam $t=\tau$ rimstošo svārstību sistēma izdara $N={\frac {\tau }{T}}$ pilnas svārstības. Skaitli $Q=2\pi N$ sauc par oscilatora labumu, kurš skaitliski vienāds ar oscilatorā uzkrātās pilnās enerģijas attiecību pret enerģiju, ko tas zaudē viena svārstību perioda laikā, tādējādi $Q$ raksturo svārstību sistēmas spēju saglabāt tajā uzkrāto enerģiju.

Ik pēc perioda svārstību amplitūda samazinās $e^{\gamma T}$ reizes, naturālo logaritmu no šī skaitļa sauc par logaritmisko dekrementu $d=\ln e^{\gamma T}=\gamma T$.

Uzspiestās svārstības

Uzspiestās svārstības ir svārstības, ko ķermeņi veic ārējo spēku iedarbībā (tie var būt periodiski mainīgi). Šīs svārstības nenorimst, kamēr darbojas ārējais spēks, piemēram, šūpoļu iešūpināšana ar periodiskiem grūdieniem.

Uzspiesto svārstību amplitūda atkarīga no tā, kā kāda ir uzspiedējspēka frekvence $\omega$ salīdzinājumā ar brīva bezberzes oscilatora pašsvārstību frekvenci $\omega _{0}$. Svārstību amplitūdu nosaka komplicētas likumsakarības, tačū, ja oscilatora berze ir maza ($\gamma \ll \omega _{0}$), uzspiesto svārstību amplitūda savu vislielāko vērtību sasniedz tad, kad $\omega =\omega _{0}$. Tā ir amplitūdas rezonanse — stacionārs svārstību režīms, kad uzspiedējspēka darbu katrā periodā kompensē berzes izraisītie zudumi.

Harmoniskās svārstības

Svārstību diferenciālvienādojums

${d^{2}x \over dt^{2}}+\omega _{0}^{2}x=0$,

kur $\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ir brīvo svārstību cikliskā frekvence, pēc kā iegūstams svārstību periods

$T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$.

Harmoniskās svārstības ir fizikāla lieluma periodiskas maiņas atkarība no laika, kuras norisinās pēc sinusa vai kosinusa likuma:

$x=X_{max}cos(\omega _{0}t+\psi _{0})$ vai $x=X_{max}cos(\omega _{0}t+\varphi _{0})$,

kur $x$ ir momentānā vērtība, $X_{max}$ ir svārstību amplitūda (amplitūda — ķermeņa vislielākās novirzes no līdzsvara stāvokļa modulis), $\psi _{0}$ un $\varphi _{0}$ ir svārstību sākumfāzes, $t$ ir laika moments. Harmonisko svārstību formulā var izmantot jebkuru no abām periodiskajām funkcijām, ērtības labad sinusu lieto, ja sākummomentā $t_{0}$ķermenis atrodas līdzsvara stāvoklī ($x_{0}=0$), savukārt, kosinusu — ja sākummomentā ķermenis ir maksimāli novirzīts no līdzsvara stāvokļa.

Paātrinājums ir koordinātas otrais atvasinājums pēc laika:

$a=x''=-kx/m$.

Momentāno ātrumu aprēķina pēc formulas

$v=-\omega _{0}X_{max}sin\omega _{0}t$.

Trajektorijas punktus, kuros $\left\vert x\right\vert =X_{max}$ un $v=0$, sauc par pagrieziena punktiem. Vislielākais ātrums ir līdzsvara punktos.

Momentāno paātrinājumu iegūst pēc formulas

$a=-\omega _{0}^{2}X_{max}cos\omega _{0}t$.

Vislielākā vērtība paātrinājumam ir pagrieziena punktos. Līdzsvara punktos $a=0$.

Harmonisku svārstību enerģija

Ķermenim svārstoties, tam piemīt kinētiskā $E_{k}$ un potenciālā enerģija $W$. Brīvu nerimstošu svārstību gadījumā svārstību sistēma (ķermenis un spirālatspere vai tamlīdzīgi) ir noslēgta sistēma, kura saņem enerģiju no ārienes tikai sākummomentā, kad sistēma tiek iesvārstīta, pēc tam tā enerģiju no ārienes nesaņem un neatdod to citiem ķermeņiem.

Zinot ķermeņa momentāno ātrumu $v$, ķermeņa kinētisko enerģiju $E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}$ var aprēķināt pēc

$E_{k}={\frac {mX_{max}^{2}sin^{2}\omega _{0}t}{2}}$.

Potenciālā enerģija ir atkarīga no atgriezējspēka. Atsperes svārstam atgriezējspēks $F_{a}=-kx$, aprēkinot tā darbu, iegūst

$W={\frac {kx^{2}}{2}}={\frac {kX_{max}^{2}cos^{2}\omega _{0}t}{2}}$.

Svārstību sistēmas pilnā mehāniskā enerģija $E$ ir nemainīga:

$E={\frac {kX_{max}^{2}}{2}}=E_{k}+W=const$.

Svārstību pilnā enerģija ir proporcionāla svārstību amplitūdas kvadrātam ($E\sim X_{max}^{2}$). Līdzsvara punktā $E_{k}$ ir vislielākā, bet pagrieziena punktos $E_{k}=0$. Turpretim $W$ ir vislielākā pagrieziena punktos, bet līdzsvara punktā $W=0$.

Jebkuru svārstību sistēmu, kurai atgriezējspēks $F_{a}$, vienīgais pieliktais spēks, ir proporcionāls ķermeņa novirzei $x$ no līdzsvara stāvokļa, sauc par lineāru harmonisku oscilatoru. Ja $F_{a}\nsim x$, tad to sauc par anharmonisku oscilatoru.

Divu savstarpēji perpendikulāru harmonisku svārstību saskaitīšana

Ja ķermenis vienlaicīgi harmoniski svārstās plaknē x un y asu virzienos un tā līdzsvara punkts ir koordinātu sistēmas sākumpunkts, ķermeņa koordinātas mainās pēc

$x(t)=X_{max}sin(\omega _{1}t+\varphi _{1})$, $y(t)=Y_{max}sin(\omega _{2}t+\varphi _{2})$.

Saskaitot abus materiālā punkta pārvietojumus, iegūst rezultējošo ķermeņa kustību pa trajektoriju xy plaknē. Trajektorijas izskatu ietekmē abu svārstību amplitūdu un periodu (frekvenču) attiecības un kustības sākumfāžu starpība. Šīs trajektorijas sauc par Lisažū figūrām.

Ja $\omega _{1}=\omega _{2}$ un

• $\varphi _{1}=\varphi _{2}$, tad rezultējošā kustība ir harmoniskas svārstības pa taisnes nogriezni, kurš orientēts leņķī $\alpha$ pret x asi, $tg\alpha ={\frac {Y_{max}}{X_{max}}}$;
• sākumfāzes atšķiras par ${\frac {\pi }{2}}$, tad trajektorija ir elipse, kuras lielā pusass novietota horizontāli, ja $X_{max}=Y_{max}$, elipse kļūst par riņķa līniju;
• sākumfāžu starpība atšķiras no 0, ${\frac {\pi }{2}}$, $\pi$, ${\frac {3\pi }{2}}$, tad trajektorija ir elipse, kuras lielā pusass ir slīpa pret x asi.

Ja $\omega _{1}\neq \omega _{2}$, tad rezultējošā kustība nav periodiska un punkts atgriežas sākumstāvoklī tikai tad, ja abi periodi attiecas kā veseli skaitļi (1:2, 2:3 utt.), tad Lisažū figūras ir noslēgtas un komplicētas līknes.

Skatīt arī

• Amplitūda
• Atsperes svārsts
• Brīvās harmoniskās svārstības
• Fizikālais svārsts
• Frekvence
• Matemātiskais svārsts
• Periods
• Svārstību raksturlielumi