Masas centrs

Masas centrs jeb inerces centrs ir tāds punkts, kam pieliekot ārējo spēku, tas kustas tā, it kā visa objekta masa būtu koncentrēta šajā materiālajā punktā. Masas centrs sakrīt ar smaguma centru, ja objekts atrodas viendabīgā gravitācijas laukā. Masas centrs var atrasties kā objekta iekšienē, tā arī ārpus tā.

Noliekot balstu zem masas centra, objekts atradīsies līdzsvarā (smaguma spēku kompensēs reakcijas spēks)

Kustību punktam var raksturot ar masas centra pārvietojumu un punkta rotāciju ap masas centru

Masas centrs materiāliem punktiem

Masas centru materiāliem punktiem var aprēķināt pēc formulas:

$x_{mc}={\frac {\sum {m_{i}x_{i}}}{\sum {m_{i}}}}$, kur $x_{mc}$ ir masas centra koordināte, $m_{i}$ ir masa i-tajam punktam un $x_{i}$ ir koordināte i-tajam punktam. Piemēram, planētas un zvaigznes savstarpējo rotāciju vai pavadoņa un planētas savstarpējo rotāciju var apskatīt ar masas centra palīdzību.

Ja nepieciešams atrast masas centru 3 dimensiju objektam, var aprēķināt masas centru katrai dimensijai atsevišķi.

Piemērs

• Atrast sistēmas Zeme-Mēness masas centru.

Zemes masa ir 5,97 * 10^24 kg, Mēness masa ir 7,35 * 10 ^22 kg, attālums starp Zemi un Mēnesi ir 3,84 * 10^5 km. Pieņemot Zemi par atskaites punktu un ievietojot formulā, iegūst:

$x_{mc}={\frac {5,98\cdot 10^{24}\cdot 0+7,35\cdot 10^{22}\cdot 3,84\cdot 10^{5}}{5,97\cdot 10^{24}+7,35\cdot 10^{22}}}\approx 4670\ km$

Tā kā Zemes rādiuss ir ~ 6370 km, tad sistēma Zeme-Mēness griežas ap baricentru, kas ir Zemes iekšienē.

Masas centrs nepārtrauktam ķermenim

Masas centru iespējams noteikt arī eksperimentāli: piekārtam objektam nostājoties līdzsvarā, var novilkt taisni no piekares punkta gravitācijas virzienā. Šādi novelkot divas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs

Masas centru nepārtrauktam 1 dimensijas ķermenim var aprēķināt pēc integrāļa:$x_{mc}={\frac {1}{M}}\int {xdm}$, kur $M$ ir masu summa, $dm$ ir ķermeņa masa kāda koordinātā $x$.

Piemērs

• Dots horizontāls lauks, jāaprēķina darbu kas jāveic, lai izceltu pussfēras formas bedres zemi līdz zemes līmenim, ja bedres rādiuss ir $R$, zemes blīvums ir $\rho$ un brīvās krišanas paātrinājums ir $g$.

Vispirms var novērot, ka, ja tiek atrasts šīs pussfēras masas centrs $h_{mc}$, tad iespējams aprēķināt nepieciešamo darbu ar formulu $A=mgh$, kur $A$ ir darbs, $m$ ir visa masa un $h$ ir augstums līdz zemes virsmai.

Visas zemes masa pussfēras bedrei ir $M=\rho V={\frac {2\rho R^{3}}{3}}$.

Integrāli var pārrakstīt kā $h_{mc}={\frac {1}{M}}\int {\rho xdV}$, kur $dV$ ir tilpuma gabals. Izsakot $dV=S\cdot dh$ un $S=\pi \cdot (R^{2}-dh^{2})$ var ievietot atpakaļ integrālī ar robežām $0$, $R$: $h_{mc}={\frac {1}{M}}\int _{0}^{R}{\rho x\pi (R^{2}-dh^{2})dh}={\frac {1}{M}}(({\frac {\rho \pi R^{4}}{2}}-{\frac {\rho \pi R^{4}}{4}})-0)={\frac {\rho \pi R^{4}}{4M}}$. Ievietojot pussfēras tilpuma formulu iegūst: $h_{mc}={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {2\rho R^{3}}{3}}\cdot {\frac {3R}{8}}={\frac {M}{M}}\cdot {\frac {3R}{8}}={\frac {3R}{8}}$.

Ievietojot darba formulā $A=Mgh_{mc}={\frac {2\rho R^{3}}{3}}\cdot {\frac {3R}{8}}\cdot g={\frac {\rho gR^{4}}{4}}$.

Masas centrs pēc simetrijām

Ja visam objektam ir vienāds blīvums, tad atrodot jebkādu simetrijas asi, masas centrs atradīsies uz šīs ass. Atrodot divas šādas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs.

Skatīt arī

• Svērtais vidējais