Puasona sadalījums

Puasona sadalījums varbūtību teorijā un statistikā ir diskrēts varbūtību sadalījums. Tas nosaka, kāda ir varbūtība notikt dotam skaitam notikumu kādā laika intervālā ar pieņēmumiem, ka notikumiem piemīt konstanta "vidējā biežuma" vērtība un katrs nākamais notikums ir neatkarīgs no iepriekšējiem notikumiem. Šim sadalījumam var mainīt mērvienības, piemēram, interneta veikals kā mainīgo(x asi) var izmantot minūtes un vidējo vērtību ņemt pirkumu skaitu laika intervālā, bet tikpat labi mainīgais var būt apmeklētāju skaits un vidējās vērtības mērvienības var būt pircēju skaits. Puasona sadalījumu var izmantot arī gadījumos ar vairākām dimensijām, piemēram, gadījumu skaits laukumā vai tilpumā.

Poisson Distribution

Diskrētā blīvuma funkcija Puasona sadalījuma grafiks- x ass atbilst laika intervālam, šoreiz [0; 20]. Y ass atbilst varbūtībai notikt uz x ass norādītajam gadījumu skaitam. Vērtība $\lambda$ atbilst sagaidāmajai vērtībai notikumu skaitam
Sadalījuma funkcija Puasona kumulatīvā sadalījuma grafiks — x ass atbilst laika intervālam. Y ass vērtība atbilst varbūtībai notikt uz x ass norādītajam vai mazākam gadījumu skaitam
Apzīmējums	$\operatorname {Pois} (\lambda )$
Parametri	$\lambda \in (0,\infty )$
Definēts	$k\in \mathbb {N} _{0}$ (naturāli skaitļi, ieskaitot 0)
Blīvuma funkcija	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
Sadalījuma funkcija	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},$ vai $e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},$ vai $Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (pie $k\geq 0,$ kur $\Gamma (x,y)$ ir augšēji nepilnīgā Gamma funkcija, $\lfloor k\rfloor$ ir grīdas funkcija un $Q$ ir regularizētā Gamma funkcija
Vidējā vērtība	$\lambda$
Mediāna	$\approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor$
Moda	$\left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor$
Dispersija	$\lambda$
Asimetrijas koeficients	${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$
Ekscesa koeficients	${\frac {1}{\lambda }}$
Momentu ģenerējošā funkcija	$\exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]$
Raksturīgā funkcija	$\exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]$
Varbūtību ģenerējošā funkcija	$\exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]$
Fišera informācija	${\frac {1}{\lambda }}$

Ja ir zināma Puasona sadalījuma sagaidāmā vērtība $\lambda$ un zināms intervāls(laiks, mājaslapas apmeklētāju skaits, u.c.), tad varbūtība notikt $k$ notikumiem šajā intervālā ir: ${\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}}$, kur $e$ ir Eilera skaitlis un $k!$ ir faktoriāls $k!=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ ...\ \cdot 3\cdot 2\cdot 1$

Ar Puasona sadalījumu var modelēt dažādas situācijas, piemēram, interneta veikala pirkumu skaitu, salūzušu produktu skaitu garantijas laikā, radioaktīvo sabrukšanu atomos un citas situācijas. Jāņem vērā, ka sadalījums pieņem nemainīgu sagaidāmo vērtību $\lambda$ un notikumu savstarpējo neatkarību, kas dzīvē nav vienmēr spēkā.

Izdevums

No sākuma pieņemsim, ka varbūtība notikumam notikt kādā laika intervālā $\Delta t$ ir $\lambda \cdot \Delta t$, kur $\Delta t$ ir mazs lielums, notikumi dažādos laika intervālos ir neatkarīgi cits no cita un katrā intervālā var notikt tikai viens notikums. Trešais pieņēmums var šķist patvaļīgs, taču ar tā palīdzību var modelēt Binomiālo sadalījumu, kā arī tāpat, ja $\Delta t$ tiek ņemts pietiekami mazs, tad šis izpildās. Šādā gadījumā pēc Binomiālā sadalījuma formulas varbūtība notikt tieši $k$ notikumiem ir ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot \lambda ^{k}\cdot \Delta t^{k}\cdot (1-\lambda \Delta t)^{n-k}$

Tagad pieņemsim $k$ par konstanti, maksimālo gadījumu skaitu kā limitu $n\rightarrow \infty$ un $\Delta t={\frac {1}{n}}$. Šādi var iegūt varbūtību notikt $k$ notikumiem $P(X=k)$, kad gadījuma lielums $X$ ir sadalīts pēc Puasona sadalījuma. Tagad ir nepieciešams aprēķināt šo robežu:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot \lambda ^{k}\cdot n^{-k}\cdot (1-\lambda /n)^{n-k}$, ko var pārrakstīt kā četrus reizinātājus citādāk: $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {n!}{(n-k)!\cdot n^{k}}}\cdot (1-\lambda /n)^{-k}\cdot (1-\lambda /n)^{n}$

Pēc pārkārtošanas var iegūt, ka pirmais reizinātājs nav atkarīgs no $n$, otrais un trešais kopā tiecas uz 1, ko var iegūt izmantojot, piemēram, Stirlinga aproksimāciju faktoriālim $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}{\Bigl (}{\frac {n}{e}}{\Bigr )}^{n}$, faktoriāļus var aizvietot:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}{\Bigl (}{\frac {n}{e}}{\Bigr )}^{n}}{{\sqrt {2\pi (n-k)}}{\Bigl (}{\frac {n-k}{e}}{\Bigr )}^{n-k}\cdot n^{k}}}\cdot (1-\lambda /n)^{-k}=1$

Ceturtais reizinātājs tiecas uz $\lim _{n\rightarrow \infty }(1-\lambda /n)^{n}=e^{-\lambda }$. Sareizinot visus reizinātājus, iegūst Puasona sadalījumu ${\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}}$.