Matemātikā robeža ir vērtība, uz kuru tiecas funkcija vai skaitļu virknes elementi. Robežas ir nozīmīga matemātiskās analīzes sastāvdaļa, un tās tiek izmantotas bezgalības, atvasinājumu un integrāļu, kā arī matemātikas konstanšu definēšanā.

Grafiks funkcijai, kuras vērtība f(x), argumentam x pārsniedzot vērtību S, atrodas attālumā ε no L

Apzīmējums labot šo sadaļu

Formulās robeža parasti tiek apzīmēta, izmantojot vārdu lim, pilnajā formā  , un robežvērtība, kurai tuvojas funkcija, tiek rakstīta aiz labās bultiņas (→), proti, ana.

Pamatjēdzieni labot šo sadaļu

Funkcijas  , kad  , robeža ir skaitlis  , ja katram pozitīvam skaitlim   var atrast tādu pozitīvu skaitli  , ka ar visām tām   vērtībām, izņemot  , kurām  , ir spēkā nevienādība  .

Funkcijas robežu, kad   un  , sauc par robežu no labās puses  . Funkcijas robežu, kad   un  , sauc par robežu no kreisās puses  . Abas šīs robežas sauc par vienpusējām. Ja  , tad  . Ja  , tad   neeksistē.

Ja  , tad   sauc par bezgalīgi mazu funkciju. Ja  , tad   sauc par bezgalīgi lielu funkciju. Šādu funkciju īpašības:

  • bezgalīgi mazas funkcijas apgrieztā (inversā) funkcija ir bezgalīgi liela funkcija, savukārt, bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazu funkciju summa ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija;
  • bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar funkciju, kuras robeža nav nulle, ir bezgalīgi maza funkcija.

Robežu īpašības labot šo sadaļu

  •  ;
  •  ;
  •  , ja  ;
  • ja katram   punkta   apkārtnē  , tad  ;
  • ja katram   punkta   apkārtnē  , tad  ;
  • ja katram   punkta   apkārtnē   un  , tad  .

Nenoteiktības labot šo sadaļu

 
Pirmajām trīs funkcijām ir punkti, kurām nav noteikta limita, savukārt funkcija   nav definēta pie  , bet tās limits eksistē.

Nenoteiktības ir  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , šajos gadījumos rezultātā var būt gan bezgalība, gan nulle, gan cits galīgs skaitlis. Lai aprēķinātu robežu ar nenoteiktību, jāpārveido funkcija: dala katru skaitli ar augstāko mainīgā pakāpi vai pārveido un pēc tam saīsina izteiksmi.

Lai novērstu   nenoteiktību, kad izteiksme satur trigonometrisku funkciju, var izmantot pirmo ievērojamo robežu

 .

  nenoteiktību var novērst, izmantojot otro ievērojamo robežu

  vai  ,kur   ir Eilera skaitlis.

Bezgalīgi mazu lielumu salīdzināšana labot šo sadaļu

Robežu aprēķināšanai dažkārt ērti izmantot bezgalīgi mazu funkciju salīdzināšanu.

Divas bezgalīgi mazas funkcijas   un   sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad  , ja

 ,

kur   ir galīgs skaitlis, kurš nav nulle.

Ja  ,   un   ir ekvivalentas funkcijas:

 .

Aprēķinot bezgalīgi mazu funkciju attiecības robežu, tās var aizvietot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām. Savsarpēji ekvivalentas ir ( )  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   un citas funkcijas.

Bezgalīgi mazai funkcijai   ir augstāka kārta nekā bezgalīgi mazai funkcijai   (to pieraksta kā  ), ja

 .

Ja  , tad

 .

  sauc par n-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju salīdzinājumā ar  , kad   (to pieraksta kā  ), ja

 .

Funkcijas nepārtrauktība, funkcijas pārtraukumi labot šo sadaļu

 
Funkcijas   grafiks. Funkcija nav definēta, ja  , tas ir funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts:  ,  

Funkcija   ir nepārtraukta punktā  , ja

 ,

kur   ir argumenta pieaugums,   ir funkcijas pieaugums.

Ja funkcija ir nepārtraukta šajā punktā, tad

 .

Ja funkcija ir pārtraukta punktā  ,

  •   sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja abas vienpusīgās robežas ir galīgas, kad  ;
  •   sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusīgajām robežām ir bezgalība vai neeksistē, kad  .[1]

Atsauces labot šo sadaļu

  1. Inta Volodko. Augstākā matemātika. Zvaigzne ABC, 2007. ISBN 978-9984-37-811-4.