Varbūtību sadalījuma funkcija

Varbūtību sadalījuma funkcija, arī saukta par kumulatīvo sadalījuma funkciju, ir funkcija, kas attēlo varbūtību, ka gadījuma lielums $X$ pieņem vērtību mazāku vai vienādu par $x$. To parasti apzīmē ar lielo burtu $F$, nepieciešamības gadījumā norādot arī gadījuma lielumu.

Sadalījuma funkcijas piemērs nepārtrauktam sadalījumam (normālais sadalījums)

Sadalījuma funkcijas piemērs diskrētam sadalījumam (binomiālais sadalījums)

$$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$$

Sadalījuma funkcija pilnīgi definē gadījuma lielumu. Tā ir definēta gan nepārtrauktiem, gan diskrētiem gadījuma lielumiem.

Izmantojot sadalījuma funkciju iespējams noteikt varbūtību gadījuma lielumam pieņemt vērtības pusslēgtā intervālā $(a,b]$: $$\operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$$

Ja gadījuma lielums ir nepārtraukts, tad ir iespējams noteikt tā varbūtību blīvuma funkciju, atvasinot sadalījuma funkciju:

$$f(x)={\frac {dF(x)}{dx}}$$

Analoģiski nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkciju var izteikt, integrējot tā blīvuma funkciju:

$$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt.$$

Diskrētiem gadījuma lielumiem, kuri pieņem vērtības $x_{1},x_{2},\ldots$ ar varbūtībām $p_{i}=p(x_{i})$, sadalījuma funkciju var izteikt kā šo varbūtību summu:

$$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).$$

Īpašības

Jebkurai sadalījuma funkcijai izpildās šādas īpašības:

• funkcija ir ierobežota un pieņem vērtības no 0 līdz 1: $0\leq F_{X}(x)\leq 1$;
• funkcija ir nedilstoša;
• $\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$;
• $\lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$;
• funkcija ir nepārtraukta no labās puses: $\lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)$.

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Varbūtību sadalījuma funkcija.
• Encyclopedia of Mathematics ieraksts (angliski)