Binomiālais sadalījums

Binomiālais sadalījums varbūtību teorijā ir varbūtību sadalījums, kurš uzdod jā/nē jautājumus un skaita labvēlīgo gadījumu skaitu un nelabvēlīgo. Tas ir atkarīgs no parametriem p un n, kur p - labvēlīga iznākuma varbūtība; n - gadījumu skaits; kā arī lielums q - nelabvēlīgā iznākuma varbūtība (q = 1 - p). Vēl bez jā/nē iznākumu dabas, katram mēģinājumam jābūt neatkarīgam no iepriekšējiem mēģinājumiem un varbūtībām jābūt nemainīgām.

Binomiālais sadalījums

Diskrētā blīvuma funkcija Binomiālā sadalījuma grafiks izskatās pēc diskrēta (lēcienveida) normālā sadalījuma
Sadalījuma funkcija Varbūtību sadalījuma funkcija F(x) izmainās diskrētās vērtībās, tā ir lēcienveidā
Apzīmējums	$B(n,p)$
Parametri	$n\in \{0,1,2,\ldots \}$ – mēģinājumu skaits $p\in [0,1]$ – labvēlīga notikuma varbūtība katrā mēģinājumā $q=1-p$
Definēts	$k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ – labvēlīgo gadījumu skaits
Blīvuma funkcija	${\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
Sadalījuma funkcija	$I_{q}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$ (regularizēta nepilnīgā Bēta funkcija)
Vidējā vērtība	$np$
Mediāna	$\lfloor np\rfloor$ vai $\lceil np\rceil$
Moda	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ vai $\lceil (n+1)p\rceil -1$
Dispersija	$npq=np(1-p)$
Asimetrijas koeficients	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Ekscesa koeficients	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Momentu ģenerējošā funkcija	$(q+pe^{t})^{n}$
Raksturīgā funkcija	$(q+pe^{it})^{n}$
Varbūtību ģenerējošā funkcija	$G(z)=[q+pz]^{n}$
Fišera informācija	$g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}$ (pie fiksēta $n$)

Bernulli formula

Ar Bernulli formulu iespējams noteikt varbūtību tam, ka labvēlīgs notikums notiks m reizes. Formulu pieraksta šādi:

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}$, kur

$P_{n}(k)$ - varbūtība labvēlīgam iznākumam notikt $k$ reizes no visām $n$ reizēm; $C_{n}^{k}$ - kombinācijas, kā izvēlēties $k$ elementus no $n$; $p^{k}$ - labvēlīgā varbūtība celta veiksmīgo reižu pakāpē; $q^{n-k}$ - nelabvēlīgā varbūtība ($q=1-p$) celta neveiksmīgo reižu pakāpē.

Visu varbūtību summa būs 1: $\sum _{i=0}^{n}p_{i}=1$.

Piemērs

Varbūtība, ka diena būs apmākusies, ir 0,45. Kāda ir varbūtība, ka nedēļā būs 3 apmākušās dienas?

Izmantojot Bernulli formulu:

Animācija visu n = 4 situāciju kombinācijām: $C_{4}^{0}=1;C_{4}^{1}=4;C_{4}^{2}=6;C_{4}^{3}=4;C_{4}^{4}=1$

$P_{7}(3)=35\cdot 0,45^{3}\cdot 0,55^{4}=0,292...$

Īpašības

Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība ir $E[X]=np$. Šo iegūst, jo gadījuma lielums var ieņemt vērtības {0; 1}, atkarībā no tā, vai gadījums ir labvēlīgs vai nav. No sagaidāmās vērtības linearitātes īpašības un fakta, ka varbūtība p ir nemainīga: $E[X]=E[X1+...+Xn]=E[X1]+...+E[Xn]=p+...+p=np$

Binomiālā sadalījuma dispersija ir: $Var[X]=npq=np(1-p)$

Skatīt arī

• Kombinatorika
• Puasona sadalījums