Matrica

Skaties arī jēdzienu ar līdzīgu nosaukumu: matrice.

Matrica ir matemātisks objekts — reālu vai kompleksu skaitļu masīvs, kur skaitļi izvietoti taisnstūra veida tabulā. Ar matricām var veikt algebriskas operācijas (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana u.c.). Matricas, kurām ir tikai viena rinda vai viena kolonna, sauc par vektoriem. Skaitļu masīvus, kuriem ir vairāk kā divas dimensijas, sauc par tenzoriem.

Matricas elementu norādīšanai lieto indeksus: pirmais indekss norāda rindu, bet otrais — kolonnu.

Vēsture

Matricas jēdzienu ieviesa Džeimss Silvestrs 1850. gadā . Kembridžas Universitātes profesors Arturs Keilijs noteica tādas darbības ar matricām kā saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu. Fizikā pirmā publikācija ar matricu pielietojumu parādījās 1925. gadā. Tās autors Verners Heizenbergs pats definēja matricas, pierādīja to īpašības un izmantoja tās kvantu mehānikas matemātiskajā aprakstā.

Darbības ar matricām

Tāpat kā citiem matemātiskiem objektiem arī ar matricām var veikt tādas algebriskas operācijas kā saskaitīšana un reizināšana. Saskaitīt var tikai vienāda izmēra matricas. Saskaitot matricas, tiek saskaitīti to atbilstošie elementi. Matricas var reizināt vienu ar otru vai arī ar kādu skaitli. Reizinot matricas ar skaitli, visi matricas elementi tiek reizināti ar doto skaitli. Matricu summai un reizināšanai ar skaitli piemīt šādas īpašības:

1. komutativitāte: A + B = B + A,
2. asociativitāte: (A + B) + C = A + (B + C),
3. distributivitāte: c(A + B) = cA + cB,

kur A, B un C ir matricas, bet c ir skaitlis.

Matricu reizināšana

Divas matricas var sareizināt savā starpā, ja pirmās matricas kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas rindu skaitu. Reizinājuma rezultātā tiek iegūta matrica, kuras rindu skaits ir vienāds ar pirmās matricas rindu skaitu, bet kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas kolonnu skaitu. Lai aprēķinātu reizinājuma rezultātā iegūtās matricas elementu ar koordinātām (i, j), sareizina pirmās matricas i-tās rindas pirmo locekli ar otrās matricas j-tās kolonnas pirmo locekli, līdzīgi rīkojas ar pārējiem i-tās rindas un j-tās kolonnas locekļiem un to reizinājumus saskaita. Šo likumu var pierakstīt šādi:

$C_{ij}=\sum _{k}A_{ik}B_{kj}.\,$

Kvadrātiskas matricas

Kvadrātiska matrica ir matrica, kurā rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu. Šādas matricas ir īpaši plaši sastopamas lietišķajā matemātikā un fizikā, tāpēc ka tās atveido lineāras transformācijas vienas telpas ietvaros (piemēram, plaknes vai trīsdimensiju telpas). Bez tam, šīm matricām piemīt vērtīga matemātiska īpašība - spēja veidot multiplikatīvas grupas un gredzenus. Sekojoši jēdzieni un lielumi ir attiecināmi tikai uz kvadrātiskām matricām:

• Determinants

Determinants $det(\mathbf {A} )$ vai $|\mathbf {A} |$ ir skaitlis, kurš nosaka dažas svarīgas matricas īpašības. Vārds "determinants" nozīmē "noteicējs". Matrica ir invertējama tad un tikai tad, ja determinants nav nulle. Ja kvadrātiska matrica atveido lineāru transformāciju, tad determinanta absolūtā vērtība atbilst laukuma mainīšanās koeficientam, ja tiek transformēta divdimensiju figurā, vai apjoma mainīšanās koeficientam, ja tiek transformēts trīsdimensiju objekts. Determinanta zīme atbilst transformējamā objekta orientācijai - determinants ir pozitīvs tad un tikai tad, ja saglabājas iepriekšējā orientācija.

• Singulāras un nesingulāras matricas

Singulāra matrica ir matrica, kuras determinants ir vienāds ar nulli. Šādai matricai neeksistē apgriezta matrica, kas izskaidro tās nosaukumu "singulāra" (šāda matrica ir "vientuļa"). Nesingulāras matricas determinants nav vienāds ar nulli un tai var atrast apgrieztu matricu. Nesingulāras matricas sauc arī par invertējamām, apgriežamām vai regulārām matricām.

• Inversā jeb apgrieztā matrica

Līdzīgi kā skaitlim $a$ eksistē apgriezts skaitlis $a^{-1}$, kurš reizinājumā ar $a$ dod 1, katrai nesingulārai matricai $\mathbf {A}$ ir atrodama unikāla apgriezta matrica $\mathbf {A} ^{-1}$, kura reizinājumā ar $\mathbf {A}$ dod vienības matricu. $\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {I}$.

• Vienības matrica

Vienības matricai visi galvenās diagonāles elementi ir 1, bet pārējie ir 0. Šādu matricu parasti apzīmē ar $\mathbf {I}$ (no angļu vārda "identity matrix") vai $\mathbf {E}$ (no vācu vārda "Einheitsmatrix").

• Diagonālmatrica

Ja visi elementi ārpus galvenās diagonāles ir nulles, tad šādu matricu sauc par diagonālmatricu.

${\begin{bmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\\\end{bmatrix}}$

• Trīsstūrveida matrica

Ja nulles ir tikai visi elementi virs galvenās diagonāles vai zem tās, tad šādu matricu sauc attiecīgi par apakšēju vai augšēju trīsstūrveida matricu.

Apakšēja trīsstūrveida matrica: ${\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}$     Augšēja trīsstūrveida matrica: ${\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}$

• Matricas pēda

Pēda ir galvenās diagonāles elementu summa. Pēdu apzīmē ar $tr(\mathbf {A} )$ - no angļu vārda "trace". Kaut arī pašu matricu reizināšana ir nekomutatīva, divu matricu reizinājuma pēda nav atkarīga no reizinātāju secības: $tr(\mathbf {AB} )=tr(\mathbf {BA} )$. Matricas pēda nemainās arī transponējot matricu: $tr(\mathbf {A} )=tr(\mathbf {A} ^{T})$.

• Ortogonāla matrica

Ortogonāla matrica ir kvadrātiska matrica, kuras rindas un kolonnas veido ortogonāli vienības vektori. Šīs matricas reizinājums ar tās transponēto matricu dod vienības matricu: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{T}=\mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {I}$.

• Īpašvērtības un īpašvektori

Skaitli $\lambda$ un nenulles vektoru $\mathbf {v}$, kuri atbilst vienādībai $\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$, sauc par matricas $\mathbf {A}$ īpašvērtību un īpašvektoru. Īpašvektori ir vektori, kuri pēc lineāras transformācijas paliek uz iepriekšējās taisnes. Īpašvērtības raksturo īpašus stāvokļus sistēmās ar vairākām brīvības pakāpēm, piemēram, rezonances mehāniskās sistēmās vai enerģijas līmeņus kvantu fizikā.

Skatīt arī

• Matricu reizināšana
• Lineāru vienādojumu sistēma
• Vektors
• Tenzors