Atvērt galveno izvēlni

DefinīcijaLabot

Aksiomātiska definīcijaLabot

Determinants ir definēts jebkurai kvadrātveida matricai pār komutatīvu gredzenu R (piemēram, veseli, reāli vai kompleksi skaitļi). Funkciju ƒ: Rn×nR, kas n×n matricām pār gredzenu R piekārto elementus no R, sauc par determinantu, ja tai izpildās šādas trīs īpašības:

  1. ƒ(I) = 1, kur I ir n×n vienības matrica (šeit 1 apzīmē gredzena R vienības elementu),
  2. funkcija ƒ ir lineāra attiecībā pret matricas rindiņām (skatīt zemāk),
  3. ƒ(A) = 0, ja jebkuras divas matricas A rindiņas ir vienādas (šeit 0 apzīmē gredzena R nulles elementu).

Var pierādīt, ka eksistē viena vienīga funkcija ƒ, kurai izpildās šīs trīs īpašības.[1] Šo funkciju parasti apzīmē ar "det".

LinearitāteLabot

Ja A ir n×n matrica un ar ri apzīmē rindas vektoru, kas vienāds ar šīs matricas i-to rindiņu, tad matricu A var pierakstīt šādi:

 

Funkciju ƒ: Rn×nR sauc par lineāru attiecībā pret matricas rindiņām, ja tai izpildās šāda īpašība:

 

kur α un β ir patvaļīgi gredzena R elementi un i ir vesels skaitlis no 1 līdz n.

Formula 2×2 matricāmLabot

 

Formula 3×3 matricāmLabot

 
Metode determinanta aprēķināšanai 3×3 matricai.
 

Piemēram, ja

 

tad

 

Lai aprēķinātu determinantu 3×3 matricai, var izmantot Sarusa metodi.

Formulas n×n matricāmLabot

Determinantu n×n matricai

 

var izteikt kā polinomu no tās elementiem ai,j. Šo polinomu parasti apzīmē ar det(A) un tas satur n! saskaitāmos. Katrs no šiem saskaitāmajiem ir vai nu ar plus vai mīnus zīmi un sastāv no n matricas Aelementu reizinājuma (pa vienam no katras rindas un kolonnas). Šo polinomu var izteikt ar vairāku ekvivalentu formulu palīdzību.

Leibnica formulaLabot

Bieži vien determinantu definē ar Leibnica formulas palīdzību:

 

Šajā formulā Sn apzīmē simetrisko grupu jeb kopu, kas sastāv no visām n elementu permutācijām, sgn(σ) ir permutācijas σ zīme, σ(i) ir skaitlis no 1 līdz n, uz kuru σ attēlo i.

Intuitīvi par permutāciju σ var domāt kā par virkni garumā n, kas satur skaitļus no 1 līdz n patvaļīgā secībā tā, ka katrs skaitlis parādās tieši vienu reizi; Sn ir kopa no visām šādām virknēm, σ(i) ir i-tais skaitlis virknē σ, bet zīme sgn(σ) ir vienāda ar +1 vai -1, atkarībā no tā vai virknē σ esošos skaitļus nepieciešams mainīt vietām pāra vai nepāra skaitu reižu, lai to sakārtotu augošā secībā.

Summa ar Levi-Čivita simboluLabot

Leibnica formulā esošā summa ir pār visām virknēm σ garumā n, kurā katrs no skaitļiem no 1 līdz n parādās tieši vienu reizi. Šo summu var pārrakstīt tā, lai tajā parādītos visas iespējamās virknes garumā n (tā satur skaitļus no 1 līdz n un katrs no tiem drīkst parādīties patvaļīgi daudz reižu — sākot no nevienas, līdz pat n reizēm). Šī summa sastāv no nn saskaitāmajiem, taču lielākā daļa no tiem ir vienāda ar nulli:

 

Šajā formulā   ir Levi-Čivita simbols, kas ir vienāds ar 0, ja virkne i1i2in nav permutācija, bet pretējā gadījumā ir vienāds ar šīs permutācijas zīmi.

Laplasa formulaLabot

Ja A = (a1,1) ir 1×1 matrica, tad det(A) = a1,1. Lielākām matricām determinantu var aprēķināt rekursīvi ar Laplasa formulas palīdzību. Tā izsaka dotās matricas determinantu kā funkciju no mazāku apakšmatricu determinantiem. Šo procesu sauc par determinanta izvirzīšanu pēc attiecīgās rindiņas vai kolonnas:

 

Pirmajā izteiksmē indekss i ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc i-tās rindiņas, bet otrajā izteiksmē indekss j ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc j-tās kolonnas. Šajās formulās Mi,j apzīmē determinantu apakšmatricai, kas iegūta atmetot matricas A i-to rindiņu un j-to kolonnu (šos lielumus sauc par matricas A minoriem).

Determinanta ģeometriskā interpretācijaLabot

 
Laukums paralelogramam, kuru veido vektori (a,b) un (c,d).

Paralelograma laukums ir vienāds ar determinanta absolūto vērtību matricai, kas sastāv no paralelogramu veidojošajiem vektoriem.

ĪpašībasLabot

PielietojumsLabot

Skatīt arīLabot

AtsaucesLabot

  1. Artin, Teorēma 3.14, 24. lpp.

Papildu literatūraLabot

Latviski:

Angliski:

  • Lang, Serge (1987), Linear algebra, Undergraduate texts in mathematics (3 izd.), Springer, ISBN 978-0-38-796412-6, Nodaļa VI, Determinants, 140. lpp.
  • Lang, Serge (1986), Introduction to Linear algebra, Undergraduate texts in mathematics (2 izd.), Springer, ISBN 978-0-38-796205-4, Nodaļa VII, Determinants, 195. lpp.

Vāciski:

Ārējās saitesLabot