Saskaitīšana

Saskaitīšana jeb summēšana ir matemātiska darbība, kas atbilst divu objektu (vienkāršākajā gadījumā skaitļu) apvienošanai. Šo darbību apzīmē ar simbolu "+". Piemēram, izteiksme 3 + 2 nozīmē, ka tiek saskaitīti skaitļi 3 un 2. Skaitļus 3 un 2 šajā izteiksmē sauc par saskaitāmajiem, bet izteiksmes 3 + 2 vērtību sauc par summu. Saskaitīšanas rezultātu pieraksta šādi: 3 + 2 = 5 — apvienojot trīs ābolus un divus ābolus, iegūst piecus ābolus (skatīt ilustrāciju). Skaitīšana ir saskaitīšanas speciāls gadījums, kad atkārtoti tiek pieskaitīts skaitlis 1. Saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana.

3 + 2 = 5 (ilustrācija ar ābolu palīdzību).

Saskaitīšana ikdienā un matemātikā

Ikdienā saskaitīt var ne tikai ābolus, bet jebkurus citus fiziskus un abstraktus objektus, piemēram, naudu, draugus, balsis, kalorijas, kilogramus, gadus utt. Matemātikā mēdz saskaitīt naturālus skaitļus, negatīvus skaitļus, daļas, reālus skaitļus, vektorus, matricas, kompleksus skaitļus utt.

Parasti saskaitāmie objekti ir vienāda veida, taču tas nav obligāti — saskaitīšanu var veikt arī formāli.^[1] Piemēram, x + 1, kur x ir nezināmais, vai 1 + i, kur i ir imaginārā vienība. Šāda veida saskaitīšanu sauc par lineāru kombināciju. Grupu teorijā simbolu "+" mēdz lietot, lai apzīmētu grupas operāciju, kas ir komutatīva (šādas grupas sauc par Ābela grupām).

Matemātikā pieņemts lietot simbolu "Σ" (lielais sigma), lai apzīmētu summu, piemēram,

\sum _{x=0}^{n}x={\frac {n(n+1)}{2}}.

Summas vispārinājums ir integrālis jeb nepārtrauktā summa. Iepriekšējās izteiksmes analogs nepārtrauktās summas gadījumā ir

\int _{0}^{n}x\,dx={\frac {n^{2}}{2}}.

Saskaitīšanas īpašības

Saskaitīšanai kā binārai operācijai piemīt vairākas svarīgas īpašības, piemēram,

komutativitāte — saskaitot divus skaitļus, rezultāts nav atkarīgs no to saskaitīšanas secības, piemēram, 3 + 2 = 2 + 3,
asociativitāte — saskaitot vairāk nekā divus skaitļus, rezultāts nav atkarīgs no tā, kā saliek iekavas, piemēram, (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1),
distributivitāte — tā vietā, lai doto skaitli sareizinātu ar divu skaitļu summu, to var sareizināt ar katru no skaitļiem atsevišķi un rezultātus saskaitīt, piemēram, 3 · (2 + 1) = 3 · 2 + 3 · 1.
eksistē neitrālais elements — skaitlis nemainās, ja tam pieskaita nulli, piemēram, 42 + 0 = 42.

No pirmajām divām īpašībām izriet, ka, saskaitot skaitļus galīgā daudzumā, ir vienalga kādā secībā to dara. Taču saskaitot bezgalīgi daudz skaitļus, rezultāts var būt atkarīgs no saskaitīšanas secības, piemēram, 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.

Aksiomātiskā pieeja

Naturālos skaitļus un to saskaitīšanu definē Peano aksiomas, tāpēc, lai formāli saskaitītu divus naturālus skaitļus, ir jāizmanto matemātiskā indukcija. Izmantojot naturālu skaitļu pārus, var konstruēt racionālos skaitļus un aprakstīt to saskaitīšanas likumu:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}.

No racionālajiem skaitļiem iegūst reālos skaitļus ar Dedekinda šķēlumu palīdzību. Reālos skaitļus formāli saskaitīt ir ievērojami grūtāk. Visbeidzot, kompleksos skaitļus konstruē kā reālu skaitļu pārus. Ja, izmantojot visas šīs definīcijas, grib pierādīt, ka 2 + 2 = 4, kur skaitlis 2 tiek uztverts kā komplekss skaitlis, formāls pierādījums sastāv 25 933 soļiem.^[2]

Vispārīgas bināras operācijas, kas apmierina līdzīgas īpašības, kā saskaitīšana un reizināšana, tiek pētītas abstraktajā algebrā.

Bezgalīgas summas

	−1	⁻¹⁄₂	⁻¹⁄₄	⁻¹⁄₈	…
1	0	¹⁄₂	¹⁄₄	¹⁄₈	…
¹⁄₂	⁻¹⁄₂	0	¹⁄₂	¹⁄₄	…
¹⁄₄	⁻¹⁄₄	⁻¹⁄₂	0	¹⁄₂	…
¹⁄₈	⁻¹⁄₈	⁻¹⁄₄	⁻¹⁄₂	0	…
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱

Matemātikā tiek apskatītas arī bezgalīgas summas, piemēram, 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Strādājot ar bezgalīgām summām bieži tiek aizmirsts, ka to vērtība var būt atkarīga no saskaitāmo secības. Piemēram, apskatīsim kreisajā pusē redzamo bezgalīgas tabulas fragmentu. Gaišajās rūtiņās esošo skaitļu summu var aprēķināt divos veidos. Vispirms var aprēķināt katrā rindā esošo skaitļu summu un tad šīs summas saskaitīt, taču var arī vispirms aprēķināt katrā kolonnā esošo skaitļu summu un tad tās saskaitīt.

Rindiņās esošo skaitļu summas dotas attiecīgajās pirmās kolonnas rūtiņās, kas ir tumšā krāsā. Piemēram, pirmajai rindiņai pielietojot ģeometriskās progresijas locekļu summas formulu, iegūstam

1 = 0 + ¹⁄₂ + ¹⁄₄ + ¹⁄₈ + ….

Šo sakarību intuitīvi var izskaidrot šādi: katrs nākamais summas loceklis palielina summas vērtību par pusi no lieluma, kas pietrūkst līdz skaitlim 1; jo vairāk locekļu apskata, jo summas vērtība kļūst tuvāka skaitlim 1, tāpēc bezgalīgās summas vērtība ir 1. Viegli redzēt, ka otrajā, rindiņā esošo skaitļu summa ir ¹⁄₂, jo

−¹⁄₂ + (0 + ¹⁄₂ + ¹⁄₄ + …) = −¹⁄₂ + 1 = ¹⁄₂.

Līdzīgi aprēķina pārējās rindiņās esošo skaitļu summu. Lai šīs summas saskaitītu, vēlreiz izmanto to pašu formulu un rezultātā iegūst 2. Varētu domāt, ka gaišajās rūtiņās esošo skaitļu summa ir 2, taču pārbaudīsim šo rezultātu ar otru metodi.

Zinot rindiņās esošo skaitļu summas, var viegli aprēķināt kolonnās esošo skaitļu summas — tās atšķiras tikai ar zīmi (tās ir dotas tabulas pirmajā rindiņā, kas ir tumšā krāsā). Viegli redzēt, ka tās saskaitot iegūst −2.

Iegūtie rezultāti 2 un −2 ir atšķirīgi, tāpēc, ka atšķiras secība, kādā skaitļi tiek saskaitīti.

Saskaitīšana citās zinātnēs

Čārlza Bebidža projektētā diferenču mašīna ir viena no pirmajām mehāniskajām skaitļošanas ierīcēm (attēlā redzamais mehānisms atbild par saskaitīšanu un pārnesi jeb vieninieka pieskaitīšanu vecākajai pozīcijai)

Psiholoģija

Saskaitīšana ir viena no visvienkāršākajām aritmētiskajām darbībām, tāpēc ikdienā cilvēki to veic galvā. Taču, apgūstot saskaitīšanu un vispār rēķināšanu, parasti tiek izmantoti dažādi uzskatāmi palīglīdzekļi, piemēram, āboli vai (visbiežāk) pirksti, tādējādi no garīgas darbības padarot to par eksperimentālu. Pirkstu lietošana skaitīšanai ir galvenais iemesls, kas varētu izskaidrot to, kāpēc mūsdienās ir pieņemts skaitīt decimālajā skaitīšanas sistēmā.

Bērni vispirms iemācās skaitīt un tikai tad saskaitīt — tas, ka bērns prot skaitīt, nenozīmē, ka bērns izprot skaitļu jēgu un prot ar tiem manipulēt. Apgūstot saskaitīšanu, bērni visbiežāk izmanto "skaitīšanas metodi". Piemēram, lai aprēķinātu, 3 + 2, var skaitīt: četri, pieci, tādējādi iegūstot pareizo atbildi 5.^[3]

Vēsture

Vēsturiski skaitīšanai ir lietotas arī citas skaitīšanas sistēmas, piemēram, ar bāzi:

5 — vienas rokas pirksti,
8 — pirkstu starpas, lietoja Juki (Yuki) cilts indiāņi Kalifornijas ziemeļos,
12 — tiek lietota mūsdienās laika skaitīšanai,
20 — lietoja maiji,
60 — lietoja šumeri un tiek lietota joprojām laika skaitīšanai.

Datorzinātne

Elektronisku shēmu, kas veic saskaitīšanu, sauc par summatoru. Summators ir viena no aritmētiski loģiskās ierīces sastāvdaļām. Aritmētiski loģiskā ierīce izpilda aritmētiskās un loģiskās operācijas un ir viena no centrālā procesora sastāvdaļām.

Datortehnoloģiju izplatības dēļ mūsdienās tiek lietotas skaitīšanas sistēmas, kuru bāze ir skaitļa 2 pakāpe, piemēram,

2 = 2¹ — binārā skaitīšanas sistēma,
8 = 2³ — oktālā skaitīšanas sistēma,
16 = 2⁴ — heksadecimālā skaitīšanas sistēma.

Mūsdienu datori visu informāciju uzglabā un apstrādā binārajā skaitīšanas sistēmā jeb bitos. Visticamāk, ka tā būs arī kvantu datoru darbības pamatā, kuros informācija tiek glabāta kubitos jeb kvantu bitos.

Bioloģija

Zinātnieki ir noskaidrojuši, ka vienkāršākās operācijas, tādas kā 1 + 1, var apgūt zīdaiņi piecu mēnešu vecumā un pat dzīvnieki.^[4]

Literatūra

Džordža Orvela romānā "1984" galvenais varonis Vinstons domā par to, vai Partijai būtu taisnība, ja tā paziņotu, ka divi plus divi ir pieci — galu galā, doma par to, ka divi plus divi ir četri, pastāv tikai prātā, bet ja nu Partija prātu var kontrolēt? Pēc šīm pārdomām Vinstons savā dienasgrāmatā ieraksta:

“

Brīvība ir tad, ja var teikt, ka divi plus divi ir četri.

”

Taču romāna beigās pēc spīdzināšanas Vinstons vairs neapšauba to, ka divi plus divi "ir" pieci.

Skatīt arī

Atsauces

↑ Kliforda algebras ir piemērs algebriskām struktūrām, kurās formāli tiek saskaitīti dažāda veida objekti. Viens no Kliforda algebru veidiem ir ģeometriskā algebra, kas tiek lietota mūsdienu fizikā.
↑ 2 + 2 = 4 Trivia, Metamath Proof Explorer Home Page. Pašu pierādījumu ir iespējams "noklausīties" kā MIDI failu šeit.
↑ Smith, Frank (2002), The glass wall: Why mathematics can seem difficult, Teachers College Press, ISBN 0-8077-4242-2, 130. lpp.
↑ Zinātnieki konstatējuši, ka bites prot skaitīt līdz četri, TVNET Ziņas, 28. oktobris (2008).

[1] Kliforda algebras ir piemērs algebriskām struktūrām, kurās formāli tiek saskaitīti dažāda veida objekti. Viens no Kliforda algebru veidiem ir ģeometriskā algebra, kas tiek lietota mūsdienu fizikā.

[2] 2 + 2 = 4 Trivia, Metamath Proof Explorer Home Page. Pašu pierādījumu ir iespējams "noklausīties" kā MIDI failu šeit.

[3] Smith, Frank (2002), The glass wall: Why mathematics can seem difficult, Teachers College Press, ISBN 0-8077-4242-2, 130. lpp.

[4] Zinātnieki konstatējuši, ka bites prot skaitīt līdz četri, TVNET Ziņas, 28. oktobris (2008).

[1]

[2]

[3]

[4]