Lineāru vienādojumu sistēma

Lineāru vienādojumu sistēma ir vienādojumu sistēma, kurā visi vienādojumi ir lineāri (pirmās pakāpes) un visos vienādojumos ir kopīgi nezināmie. Piemēram,

${\begin{cases}3x+2y-z=1\\2x-2y+4z=-2\\-x+{\tfrac {1}{2}}y-z=0\end{cases}}$

ir trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trīs nezināmajiem x, y, z. Lineāru vienādojumu sitēmas atrisinājums ir nezināmajiem lielumiem piešķirtās skaitliskās vērtības, lai tiktu iegūtas pareizas skaitliskas vienādības. Attiecīgās lineāru vienādojumu sitēmas atrisinājums ir

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

Lineāru vienādojumu sistēma var būt gan homogēna (visi brīvie locekļi ir vienādi ar nulli), gan nehomogēna (vismaz viens no brīvajiem locekļiem nav nulle). Jebkurai homogēnai lineāru vienādojumu sistēma pastāv triviālais atrisinājums, kad visu mainīgo vietā tiek ievietota nulle. Ja sistēmai risinājums eksistē, to sauc par saderīgu sistēmu, ja risinājums nepastāv — tad par nesaderīgu sistēmu.

Pastāv vairākas sistēmas atrisināšanas metodes, piemēram, ievietošanas metode (no vienas sistēmas mainīgā tiek izteikts cits mainīgais, iegūtā izteiksme tiek ievietota citos vienādojumos; tas tiek turpināts, līdz iegūta sistēma, kas satur tikai vienu nezināmo lielumu), Gausa metode, atrisināšana ar Krāmera formulu palīdzību, atrisināšana ar inversās matricas palīdzību.

Vienkāršs piemērs

Vienkāršs piemērs parasti satur divus vienādojumus ar diviem nezināmajiem:

${\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}$

Viena no atrisināšanas metodēm ir ievietošanas metode. Vispirms no pirmā vienādojuma tiek izteikts x:

$x=3-{\frac {3}{2}}y.$

Pēc tam otrajā vienādojumā x vietā tiek ievietota iegūtā izteiksme:

$4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.$

Tā tiek iegūts viens lineārs vienādojums, kas satur vienu nezināmo y. Šī vienādojuma atrisinājums ir y = 1. Pēc tam vienādojumā, kurā tika izteikts x, tiek ievietota iegūtā y vērtība, tiek iegūts, ka:

$x=3-{\frac {3}{2}}y=3-{\frac {3\times 1}{2}}={\frac {3}{2}}$

Lineāru vienādojumu sistēmas atrisinājums ir:

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&{\frac {3}{2}}\\y&\,=\,&1\end{alignedat}}$

Vispārīgā forma

Vispārīgā formā lineāru vienādojumu sistēma no m lineāriem vienādojumiem un n nezināmajiem var tikt uzrakstīta šādi:

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}$

Šeit $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ir nezināmie, $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}$ ir koeficienti un $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}$ ir brīvie locekļi.

Vektoru forma

Lineāru vienādojumu sistēmu var uzrakstīt vektoru formā:

$x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Matricu forma

No vektoru formā uzrakstītas lineāru vienādojumu sistēmas var iegūt arī sistēmu matricu formā:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,$

kur A ir m×n matrica (sistēmas koeficientu matrica), x ir nezināmo lielumu matrica (n locekļi) un b ir brīvo locekļu matrica (m locekļi).

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Ārējās saites

• Divu lineāru vienādojumu sistēma
• Triju lineāru vienādojumu sistēma
• Wolfram MathWorld (angliski)