Lineāru vienādojumu sistēma

Lineāru vienādojumu sistēma ir vienādojumu sistēma, kurā visi vienādojumi ir lineāri (pirmās pakāpes) un visos vienādojumos ir kopīgi nezināmie. Piemēram,

{\begin{cases}3x+2y-z=1\\2x-2y+4z=-2\\-x+{\tfrac {1}{2}}y-z=0\end{cases}}

ir trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trīs nezināmajiem $x, y, z$ . Lineāru vienādojumu sitēmas atrisinājums ir nezināmajiem lielumiem piešķirtās skaitliskās vērtības, lai tiktu iegūtas pareizas skaitliskas vienādības. Attiecīgās lineāru vienādojumu sitēmas atrisinājums ir

{\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}

Lineāru vienādojumu sistēma var būt gan homogēna (visi brīvie locekļi ir vienādi ar nulli), gan nehomogēna (vismaz viens no brīvajiem locekļiem nav nulle).^[1] Jebkurai homogēnai lineāru vienādojumu sistēma pastāv triviālais atrisinājums, kad visu mainīgo vietā tiek ievietota nulle.^[1] Ja sistēmai risinājums eksistē, to sauc par saderīgu sistēmu, ja risinājums nepastāv — tad par nesaderīgu sistēmu.^[1]

Pastāv vairākas sistēmas atrisināšanas metodes, piemēram, ievietošanas metode (no vienas sistēmas mainīgā tiek izteikts cits mainīgais, iegūtā izteiksme tiek ievietota citos vienādojumos; tas tiek turpināts, līdz iegūta sistēma, kas satur tikai vienu nezināmo lielumu), Gausa metode, atrisināšana ar Krāmera formulu palīdzību, atrisināšana ar inversās matricas palīdzību.^[1]

Vienkāršs piemērs

Vienkāršs piemērs parasti satur divus vienādojumus ar diviem nezināmajiem:

{\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}

Viena no atrisināšanas metodēm ir ievietošanas metode. Vispirms no pirmā vienādojuma tiek izteikts $x$ :

x=3-{\frac {3}{2}}y.

Pēc tam otrajā vienādojumā $x$ vietā tiek ievietota iegūtā izteiksme:

4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.

Tā tiek iegūts viens lineārs vienādojums, kas satur vienu nezināmo $y$ . Šī vienādojuma atrisinājums ir $y = 1$ . Pēc tam vienādojumā, kurā tika izteikts $x$ , tiek ievietota iegūtā $y$ vērtība, tiek iegūts, ka:

x=3-{\frac {3}{2}}y=3-{\frac {3\times 1}{2}}={\frac {3}{2}}

Lineāru vienādojumu sistēmas atrisinājums ir:

{\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&{\frac {3}{2}}\\y&\,=\,&1\end{alignedat}}

Vispārīgā forma

Vispārīgā formā lineāru vienādojumu sistēma no m lineāriem vienādojumiem un n nezināmajiem var tikt uzrakstīta šādi:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}

Šeit $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ir nezināmie, $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}$ ir koeficienti un $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}$ ir brīvie locekļi.

Vektoru forma

Lineāru vienādojumu sistēmu var uzrakstīt vektoru formā:

x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

Matricu forma

No vektoru formā uzrakstītas lineāru vienādojumu sistēmas var iegūt arī sistēmu matricu formā:

A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,

kur A ir m×n matrica (sistēmas koeficientu matrica), x ir nezināmo lielumu matrica (n locekļi) un b ir brīvo locekļu matrica (m locekļi).

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

Atsauces

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Biruta Siliņa, Kārlis Šteiners. Rokasgrāmata matemātikā. Rīga : Zvaigzne ABC, 2006. 33.—34. lpp. ISBN 9984-37-141-7.

Ārējās saites

Šis ar matemātiku saistītais raksts ir nepilnīgs. Jūs varat dot savu ieguldījumu Vikipēdijā, papildinot to.

[rokasgrāmata-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Biruta Siliņa, Kārlis Šteiners. Rokasgrāmata matemātikā. Rīga : Zvaigzne ABC, 2006. 33.—34. lpp. ISBN 9984-37-141-7.

[1]