Atvērt galveno izvēlni
Sfēra

Sfēra ir visu to telpas punktu kopa, kuri atrodas vienā un tajā pašā attālumā no kāda fiksēta punkta. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu, bet fiksēto punktu — par sfēras centru. Sfēra nesatur tos punktus, kas atrodas tās iekšpusē, tāpēc nav jēgas runāt par “sfēras tilpumu”. Sfērai nav tilpuma, jo sfēra ir divdimensionāla virsma, kas atrodas trīs dimensiju telpā.

Ikdienā vārdus “sfēra”, “lode” un “bumba” lieto kā sinonīmus, lai apzīmētu apaļu priekšmetu. Taču matemātikā “sfēra” un “lode” ir formāli jēdzieni, kas apzīmē dažādas lietas.

Sfēra ir lodes virsma, lode satur arī tos punktus, kas atrodas tās iekšpusē, tāpēc var runāt par lodes tilpumu. Tādēļ lode, atšķirībā no sfēras, ir trīsdimensionāls objekts.

Lai iegaumētu šo atšķirību, visvienkāršāk ir atcerēties, ka sfēra ir lodes virsma. Var arī izmantot mnemoniku lielgabala lode un debesu sfēra.

Sfēras vienādojumsLabot

Dekarta koordinātu sistēmāLabot

Dekarta koordinātu sistēmā sfēru, kas ir lodes virsma, apraksta vienādojums

 

kur x0, y0, z0 ir sfēras centra koordinātas un r > 0 ir tās rādiuss. Sfēru ar rādiusu 1 sauc par vienības sfēru. Bieži vien papildus pieņem, ka tās centrs atrodas koordinātu sākumpunktā (x0 = y0 = z0 = 0).

Jebkuri četri punkti, kas neatrodas vienā plaknē, viennozīmīgi nosaka sfēru. Ja šo punktu koordinātas ir (xi, yi, zi), 1 ≤ i ≤ 4, tad caur tiem novilktās sfēras vienādojumu var atrast ar šāda determinanta palīdzību:[1][2]

 

Sfēriskajā koordinātu sistēmāLabot

Sfēriskajā koordinātu sistēmā lodes virsmu apraksta vienādojumi

 
 
 

kur parametri θ un φ atbilst attiecīgi platuma un garuma grādiem un tie apmierina nevienādības

  un  ,

kur   = 180°.

Sfēras laukums un lodes tilpumsLabot

Virsmas laukuma elementsLabot

Lai atrastu izteiksmi sfēras virsmas laukuma elementam, ir jāizrēķina determinants no Jakobi matricas:

 

Tātad sfēras virsmas laukuma elements sfēriskajās koordinātēs ir

 

Virsmas laukumsLabot

Virsmas laukumu sfērai ar rādiusu r var atrast ar integrāļa palīdzību:

 

Lodes tilpumsLabot

Tilpums lodei ar rādiusu r ir

 

Sfēriskā ģeometrijaLabot

Sfēriskā ģeometrija ir ģeometrija uz sfēras virsmas. Galvenie jēdzieni sfēriskajā ģeometrijā ir lielais riņķis, lielā riņķa loks, sfēriskais trīsstūris un antipodālu punktu pāris.

Sfēras vispārinājums n dimensijāsLabot

Pamatraksts: Hipersfēra

Sfēru n > 3 dimensijās sauc arī par hipersfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra.

Skatīt arīLabot

AtsaucesLabot

  1. Stephen R. Schmitt, Center and Radius of a Sphere from Four Points Archived 2011. gada 6. augustā, Wayback Machine vietnē. (2005).
  2. Paul Bourke, Equation of a Sphere from 4 Points on the Surface Archived 2010. gada 24. novembrī, Wayback Machine vietnē. (2002).

Ārējās saitesLabot

Video:

  • Outside In. 2007-02-14. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2007-09-01. Skatīts: 2014-09-10. Datoranimācija, kurā tiek izskaidrots, kā sfēras iekšpusi var “izgriezt uz āru”.
  • The Alexander Sphere, YouTube.