Hipersfēra

Sfēras vispārinājumu n > 3 dimensijās sauc par hipersfēru, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par sfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar r.

Hipersfēras vienādojumsLabot

Dekarta koordinātu sistēmāLabot

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (a1, a2, …, an) un rādiusu r > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (x1, x2, …, xn), kas apmierina vienādojumu

 

Hipersfēriskajā koordinātu sistēmāLabot

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi

 

kur parametri   apmierina nevienādības

  un  

Hipersfēras laukums un lodes tilpumsLabot

Virsmas laukuma elementsLabot

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu r hipersfēriskajā koordinātu sistēmā n dimensijās ir

 

Virsmas laukumsLabot

Virsmas laukumu sfērai n dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:

 

Integrējot iegūst

 

Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

Laukums un tilpums lodei n dimensijās
n S V
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    
8    
9    

Lodes tilpumsLabot

Tilpumu n-dimensionālai lodei ar rādiusu r atrod integrējot:

 

Izmantojot Gamma funkcijas īpašību  , iegūst

 

Izteiksmes bez Gamma funkcijasLabot

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma S izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][3]

 

bet tilpuma V izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][4]

 

Hipersfēra un lode mazās dimensijāsLabot

  1. nogrieznis, divi punkti
  2. riņķis, riņķa līnija
  3. lode, sfēra

Skatīt arīLabot

AtsaucesLabot

  1. Coxeter, H.S.M. (1973), Regular polytopes (3 izd.), Dover Publications, ISBN 978-0-48-661480-9, §7.3. The general sphere, 125. lpp.
  2. 2,0 2,1 Skatīt Hyperkoule čehu Vikipēdijā.
  3. Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
  4. Skatīt Hiperkula poļu Vikipēdijā.

Ārējās saitesLabot