Pauli matricas

Pauli matricas ir noteikta veida 2 × 2 izmēru kompleksas matricas, kuras pirmais sācis lietot fiziķis Volfgangs Pauli, lai aprakstītu spinu. Matricas ir šādas:

\sigma _{1}=\sigma _{x}=X={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},

\sigma _{2}=\sigma _{y}=Y={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},

\sigma _{3}=\sigma _{z}=Z={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},

kur i ir imaginārā vienība. Dažreiz arī 2 × 2 vienības matricu

\sigma _{0}=I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

pieskaita pie Pauli matricām. Ja nepieciešams summēt pār Pauli matricām, tad parasti tās apzīmē ar grieķu burtu σ (sigma), norādot indeksu (šis apzīmējums plaši izplatīts fizikā). Citos gadījumos uzskatāmībai tiek lietoti lielie burti X, Y, Z (piemēram, kvantu skaitļošanā).

Pauli matricas ir īpašas ar to, ka tās vienlaicīgi ir gan Ermita, gan unitāras, un kopā ar vienības matricu tās veido bāzi visām 2 × 2 matricām.

Īpašības

Algebriskās īpašības

Pauli matricu algebriskās īpašības ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā. Daļa no šīm īpašībām neizpildās vienības matricai $\sigma _{0}\,$ (tas norādīts trešajā kolonnā).

Pauli matricu īpašības
Īpašība	Matemātiskais pieraksts	Izpildās $\sigma _{0}$
Ermita	$\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}$	jā
unitāra	$\sigma _{i}^{\dagger }\sigma _{i}=\sigma _{i}\sigma _{i}^{\dagger }=I$	jā
involūcija (pati sev inversā)	$\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}\;\;{\text{jeb}}\;\;\sigma _{i}^{2}=I$	jā
nulles pēda	$\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0$	nē
determinants -1	$\det(\sigma _{i})=-1\,$	nē
īpašvērtības ±1	$\det(\sigma _{i}-\lambda I)=\lambda ^{2}-1=0\,$	nē

Bāze

Pauli matricas veido maksimālu lineāri neatkarīgu (gan pār reālajiem, gan kompleksajiem skaitļiem) 2 × 2 Ermita matricu kopu jeb bāzi. Tas nozīmē, ka

jebkuru 2 × 2 Ermita matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar reāliem koeficientiem no Pauli matricām;
jebkuru 2 × 2 kompleksu matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar kompleksiem koeficientiem no Pauli matricām.

Līdzīgā veidā Pauli matricu n-kāršie tenzorreizinājumi veido bāzi attiecīgi 2ⁿ × 2ⁿ Ermita un 2ⁿ × 2ⁿ kompleksajām matricām.

Pauli matricu veidotā bāze ir ortogonāla attiecībā pret Hilberta-Šmita skalāro reizinājumu $\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{\dagger }B)$ :

\operatorname {Tr} (\sigma _{j}^{\dagger }\sigma _{k})=2\delta _{jk},

kur "Tr" apzīmē matricas pēdu (diagonāles elementu summu) un $\delta _{jk}\,$ ir Kronekera delta. Ja katru no Pauli matricām izdala ar ${\sqrt {2}}$ , tad iegūtās matricas veido ortonormētu bāzi.

Reizināšanas likums

Pauli matricu reizināšanas tabula
	I	X	Y	Z
I	I	X	Y	Z
X	X	I	iZ	−iY
Y	Y	−iZ	I	iX
Z	Z	iY	−iX	I

Tā kā Pauli matricas veido bāzi visām 2 × 2 kompleksajām matricām, tad jebkuru divu Pauli matricu reizinājumu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju no Pauli matricām. Vispārīgā gadījumā Pauli matricu reizināšanas likumu var uzrakstīt šādi:

\sigma _{j}\cdot \sigma _{k}=\delta _{jk}\,I+i\sum _{l=1}^{3}\varepsilon _{jkl}\sigma _{l}.

Pa labi ir dota Pauli matricu reizināšanas tabula (j-tās rindiņas un k-tās kolonnas krustpunktā dota σ_j·σ_k vērtība).

Grupas struktūra

Pauli matricas neveido grupu, jo kopa {I, X, Y, Z} nav slēgta pret reizināšanu (tas ir redzams no Pauli matricu reizināšanas tabulas). Ir vairāki veidi, kā Pauli matricas var papildināt, lai iegūtu kopu, kas ir noslēgta pret reizināšanu. Viens no veidiem ir atļaut koeficientus ±1 un ±i. Tad iegūst grupu, kas sastāv no 16 elementiem:

\{c\sigma \mid c=\pm 1,\pm i,\;\sigma =I,X,Y,Z\}

Taču šai grupai ir apakšgrupa, kas ir izomorfa kvaternioniem:^[1]

(I,iX,iY,iZ)\simeq (1,k,j,i).

Komutāciju sakarības

Pauli matricu komutatori
	X	Y	Z
I	0	0	0
X	0	2iZ	−2iY
Y	−2iZ	0	2iX
Z	2iY	−2iX	0

Pauli matricām piemīt šādas komutācijas un antikomutācijas sakarības:

{\begin{array}{ccl}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]&=&2i\varepsilon _{jkl}\,\sigma _{l},\\[0.9ex]\left\{\sigma _{j},\sigma _{k}\right\}&=&2\delta _{jk}\,I,\end{array}}

kur j, k ∈ {1,2,3}, indekss l ir jāsummē no 1 līdz 3 (tam tiek lietota Einšteina summēšanas konvencija), [A, B] = AB − BA ir komutators, i ir imaginārā vienība, $\varepsilon _{jkl}$ ir Levi-Čivita simbols, {A, B} = AB + BA ir antikomutators, $\delta _{jk}\,$ ir Kronekera delta un I ir vienības matrica. Šīs abas sakarības izriet no Pauli matricu reizināšanas likuma. Pauli matricu komutatoru vērtības ir dotas tabulā (j-tās rindiņas un k-tās kolonnas krustpunktā dota [σ_j, σ_k] vērtība).

Īpašvērtības un īpašvektori

Pauli matricu īpašvērtības un īpašvektori
	X	Y	Z
īpašvērtība +1	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$
īpašvērtība -1	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$