Grupa (matemātika)

Grupa (franču: groupe — 'kopa') abstraktajā algebrā ir algebriska struktūra ar vienu asociatīvu bināru operāciju, kurā eksistē vienības elements un katram elementam — tā inversais (jeb apgrieztais) elements. Matemātikas nozari, kurā tiek pētītas grupas, sauc par grupu teoriju.

Attēlā redzamā Rubika kuba iespējamie manipulēšanas veidi veido grupu.

Definīcija

Par bināru operāciju kopā G sauc tādu funkciju •: G × G → G, kas jebkuriem diviem kopas G elementiem x un y piekārto elementu x • y, kas arī pieder kopai G (šeit simbols "•" nenozīmē reizināšanu, bet gan kādu abstraktu darbību). Lai pāris (G, •) veidotu grupu, ir jāizpildās grupas aksiomām:

slēgtība

Jebkuriem diviem kopas G elementiem x un y operācijas "•" rezultāts x • y arī pieder kopai G.

asociativitāte

Jebkuriem trim kopas G elementiem x, y un z ir spēkā vienādojums (x • y) • z = x • (y • z).

vienības elements

Eksistē tāds kopas G elements e, ka jebkuram kopas G elementam x izpildās īpašība e • x = x • e = x.

inversais elements

Katram kopas G elementam x eksistē tāds kopas G elements y, ka x • y = y • x = e, kur e ir vienības elements.

Formāli šīs aksiomas var pierakstīt šādi:

${\begin{aligned}&\forall x,y\in G:x\cdot y\in G,\\&\forall x,y,z\in G:(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z),\\&\exists e\in G\;\forall x\in G:e\cdot x=x\cdot e=x,\\&\forall x\in G\;\exists y\in G:x\cdot y=y\cdot x=e.\end{aligned}}$