Kompleksi saistītais skaitlis

Matemātikā par kompleksa skaitļa z = x + iy, kur x un y ir reāli skaitļi, kompleksi saistīto skaitli sauc x − iy un to parasti apzīmē ar z vai z^*. Piemēram, 3 + 2i = 3 − 2i, 4 − i = 4 + i, i = − i un 5 = 5.

Kompleksam skaitlim z atbilstošā kompleksi saistītā skaitļa z ģeometriskā reprezentācija kompleksajā plaknē.

Īpašības

Kompleksi saistītā skaitļa atrašanas darbība ir saderīga ar aritmētikas pamatdarbībām:

${\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},\quad {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {\left(z/w\right)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.$

Lai atrastu dotās izteiksmes kompleksi saistīto izteiksmi, visbiežāk pietiek tajā aizvietot i ar −i. Šādi var rīkoties, piemēram, ja dotā izteiksme ir polinoms ar reāliem koeficientiem vai divu šādu polinomu dalījums. Dažos gadījumos ar šo metodi ir jābūt uzmanīgam, piemēram, ja izteiksme satur apslēptu kompleksu skaitli. Piemēram, iz ≠ −iz, ja z ir komplekss skaitlis. Līdzīgi f(x) ≠ f(x), piemēram, ja f(x) = x + c, kur c ir komplekss skaitlis.

Kompleksi saistītā skaitļa atrašana ģeometriski atbilst atspoguļošanai pret reālo asi kompleksajā plaknē (skatīt attēlu). Šī darbība ir involūcija jeb pati sev inversā, jo

${\overline {\overline {z}}}=z.$

Ja z = z, tad z ir reāls skaitlis, bet ja z = −z, tad z ir imaginārs.

Pielietojums

Visbiežāk kompleksi saistīto skaitli izmanto absolūtās vērtības (jeb moduļa) un apgrieztā skaitļa atrašanai.

Moduļa atrašana

Lai atrastu kompleksa skaitļa z moduļa kvadrātu, var skaitli z pareizināt ar sev kompleksi saistīto skaitli z:

$|z|^{2}=z\cdot {\overline {z}}.$

Šī sakarība ir ļoti nozīmīga kvantu mehānikā, jo tā ļauj kompleksās amplitūdas viļņu funkcijā pārvērst par reālām varbūtībām. Pašu moduli var atrast, no reizinājuma izvelkot kvadrātsakni:

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$

Ar augstāk minētās sakarības palīdzību var, piemēram, iegūt kosinusu likumu:

${\begin{aligned}|z_{1}-z_{2}|^{2}&=(z_{1}-z_{2}){\overline {(z_{1}-z_{2})}}\\&=z_{1}{\overline {z}}_{1}-z_{1}{\overline {z}}_{2}-z_{2}{\overline {z}}_{1}+z_{2}{\overline {z}}_{2}\\&=|z_{1}|^{2}-z_{1}{\overline {z}}_{2}-{\overline {z_{1}{\overline {z}}_{2}}}+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-2\operatorname {Re} (z_{1}{\overline {z}}_{2}),\end{aligned}}$

kur "Re" apzīmē reālo daļu un

$\operatorname {Re} (z_{1}{\overline {z}}_{2})={\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{2},$

kur ${\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{2}$ ir kompleksajiem skaitļiem z₁ un z₂ atbilstošo vektoru skalārais reizinājums.

Apgrieztā skaitļa atrašana

Lai atrastu kompleksa skaitļa z ≠ 0 apgriezto skaitli, izteiksmes 1/z skaitītājs un saucējs jāreizina ar kompleksi saistīto skaitli z:

${\frac {1}{z}}={\frac {1\cdot {\overline {z}}}{z\cdot {\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}.$

Piemēram, ${\tfrac {1}{i}}={\tfrac {-i}{i\cdot (-i)}}=\!{\begin{smallmatrix}-i\end{smallmatrix}}$ un ${\tfrac {1}{1+i}}={\tfrac {1-i}{(1+i)(1-i)}}={\tfrac {1-i}{2}}$.

Šo pašu triku var izmantot arī, lai izdalītu divus kompleksus skaitļus:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}\cdot {\overline {z}}_{2}}{z_{2}\cdot {\overline {z}}_{2}}}={\frac {z_{1}{\overline {z}}_{2}}{|z_{2}|^{2}}}.$

Reālās un imaginārās daļas atrašana

Kompleksi saistīto skaitli var izmantot arī reālās un imaginārās daļas atrašanai:

$\operatorname {Re} (z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad \operatorname {Im} (z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}.$

Vispārinājumi

Galuā teorijā

Komplekso skaitļu lauks ir reālo skaitļu lauka Galuā paplašinājums — to iegūst reālajiem skaitļiem pievienojot elementu i, kas ir polinoma x² + 1 sakne. Kompleksais skaitlis −i ir īpašs ar to, ka tā ir otra polinoma x² + 1 sakne, tāpēc kompleksos skaitļus i un −i sauc par konjugētiem.

Galuā teorijā tiek apskatīti arī dažādi racionālo skaitļu lauka paplašinājumi. Piemēram, lauks $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ tiek iegūts racionālajiem skaitļiem pievienojot kvadrātsakni no 2, kas ir algebrisks skaitlis un kura minimālais polinoms ir x² − 2. Otra šī polinoma sakne ir −√2, tāpēc šajā gadījumā par konjugētiem sauc skaitļus a + √2 b un a - √2 b, kur a un b ir racionāli skaitļi.

Matricām

Visvienkāršākais veids, kā kompleksi saistītā skaitļa jēdzienu vispārināt kompleksām matricām, ir katram matricas elementam atsevišķi aprēķināt kompleksi saistīto vērtību. Šādi iegūtu matricu sauc par kompleksi saistīto matricu un to apzīmē ar M vai M^*, kur M ir sākotnējā matrica.

Matemātikā daudz biežāk ir sastopams cits kompleksi saistītā skaitļa vispārinājums matricām — konjugēti transponētā matrica jeb kompleksi saistītās matricas M transponētā matrica. To apzīmē ar M^† (izrunā kā "M krusts") vai M^*:

$M^{\dagger }={\overline {M}}^{\mathrm {T} }.$

Kompleksi saistītā matrica tiek transponēta, lai operācija "†" būtu saderīga ar matricu reizināšanu. Piemēram, apgalvojumu "z · z ir reāls skaitlis" var pierakstīt šādi:

${\overline {{\overline {z}}\cdot z}}={\overline {z}}\cdot z.$

Ievērosim, ka kompleksām matricām šāda sakarība nav spēkā:

${\overline {{\overline {M}}\cdot M}}=M\cdot {\overline {M}}\neq {\overline {M}}\cdot M,$

jo matricu reizināšana nav komutatīva (A · B ≠ B · A). Toties, ja kompleksi saistīto matricu aizstāj ar konjugēti transponēto, tad vajadzīgā izteiksme ir spēkā:

$(M^{\dagger }\cdot M)^{\dagger }=M^{\dagger }\cdot (M^{\dagger })^{\dagger }=M^{\dagger }\cdot M,$

kur tika izmantota sakarība (A · B)^† = B^† · A^†.

Matricu G = M^† · M sauc par Grama matricu un tai piemīt īpašība G^† = G. Matricas ar šādu īpašību sauc par Ermita matricām un tās ir reālu skaitļu analogs komplekso matricu kopā (izteiksme H^† = H, kur H ir Ermita matrica, ir analoga izteiksmei r = r, kur r ir reāls skaitlis).

Skatīt arī

• Komplekss skaitlis
• Absolūtā vērtība
• Konjugēti transponētā matrica
• Ermita matrica

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Complex Conjugate, MathWorld.
• Complex conjugate Arhivēts 2009. gada 2. februārī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Complex Conjugate, HyperMath.
• Complex Conjugate, Mathwords.