Lauks (matemātika)

Matemātikā lauks ir algebriska struktūra: kopa, kurā ir definēta saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana, un tās darbojas tāpat kā atbilstošās darbības ar racionāliem un reāliem skaitļiem. Laukus izmanto algebrā, skaitļu teorijā un citās matemātikas nozarēs.[1]

Pazīstamākie lauki ir racionālo skaitļu lauks, reālo skaitļu lauks un komplekso skaitļu lauks. Citus laukus, piemēram, racionālu funkciju laukus, algebrisku funkciju laukus, algebrisku skaitļu laukus un p-adisku skaitļu laukus, izmanto un pēta matemātikā, piemēram, skaitļu teorijā un algebriskajā ģeometrijā. Vairums kriptogrāfijas metožu balstās uz galīgiem laukiem, tas ir, laukiem, kuru elementu skaiti ir galīgi.[2]

Saistību starp laukiem un lauku saistību ar grupām aplūko Galuā teorijā, ko 19. gadsimta 30. gados aizsāka Evarists Galuā. Tā sniedz noraidošas atbildes uz tūkstošiem gadu senajiem jautājumiem: vai ar cirkuli un lineālu iespējama leņķa trisekcija un kuba divkāršošana. Tāpat šī teorija arī parāda, ka nav iespējams ar algebrisku formulu no koeficientiem izteikt piektās kārtas polinoma saknes.

Definīcijas un īpašībasLabot

ApzīmējumiLabot

Bināra operācija kopā   ir attēlojums  : katram sakārtotam   elementu pārim ir piekārtots kāds   elements. Lauka operācijas parasti sauc saskaitīšanu un reizināšanu. Elementu, ko saskaitīšana piekārto pārim   sauc par summu un apzīmē kā  . Savukārt reizināšanas rezultātu sauc par reizinājumu un apzīmē kā   vai  .

Lauka definīcijaLabot

Lauks   ir algebriska struktūra, ko veido kopa   un divas tajā definētas bināras operācijas, kuras sauc par saskaitīšanu un reizināšanu. Šīs darbības jebkuriem   elementiem   izpildās saskaņā ar sekojošajām aksiomām.[3]

AsociativitāteLabot

Saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas:

 
 
KomutativitāteLabot

Saskaitīšana un reizināšana ir komutatīvas:

 
 
Saskaitīšanas un reizināšanas identitātesLabot

Kopā   ir divi dažādi elementi   (nulles elements jeb saskaitīšanas identitāte) un   (vienības elements jeb reizināšanas identitāte) tādi, ka

 
 
Apgrieztie elementiLabot

Katram   eksistē pretējais elements, ko apzīmē ar   un ar ko izpildās

 

Katram nenulles elementam   eksistē inversais elements, ko apzīmē ar   un ar ko izpildās

 
DistributivitāteLabot

Reizināšanas ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu:

 

Izmantojot citus matemātikā pazīstamus terminus, var šīs aksiomas apkopot šādi: laukam ir divas operācijas, ko sauc par saskaitīšanu un reizināšanu; ar saskaitīšanu tas veido Ābela grupu, kuras identitāte ir  ; nenulles elementi ar reizināšanu, veido Ābela grupu, kuras identitāte ir  ; reizināšana ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu.

Sekas un īpašībasLabot

Pretējā un inversā elementa eksistence ļauj veikt saskaitīšanai un reizināšanai pretējās darbības: atņemšanu   un dalīšanu  , definējot tās šādi:

 
 

Izmantojot distributivitāti un nulles elementa definīciju redzams, ka  :

 

Līdzīgi var parādīt, ka  :

 

Ja   tad vismaz viens no reizinātājiem pats ir  . Aplūkosim gadījumu, kad   nav  . Tādā gadījumā  :

 .

HarakteristikaLabot

Var definēt lauka elementa reizinājumu ar pozitīvu naturālu skaitli:  , kur   ar sevi saskaitīts   reizes. Ja neeksistē tāds skaitlis  , ka  , tad saka, ka šī lauka harakteristika ir  . Savukārt, ja tāds eksistē, tad mazākais  , kam tas izpildās, ir pirmskaitlis un to parasti apzīmē ar   un saka, ka lauka harakteristika ir  . Jebkuriem lauka elementiem   izpildās

 ;

 ,

kur   ir kāpināšana jeb  –kārtīgs   reizinājums ar sevi:  

Apakšlauki un paplašinājumiLabot

Ja lauka   apakškopa   pati veido lauku ar to pašu saskaitīšanu un reizināšanu, kas laukā  , tad   sauc par lauka   apakšlauku. Savukārt   ir lauka   paplašinājums. Lauku, kuram nav mazāka apakšlauka sauc par primitīvu lauku. Primitīvi lauki, kuru harakteristika ir kāds pirmskaitlis  , ir izomorfi galīgam laukam  , bet pārējie — izomorfi racionālajiem skaitļiem  .[4]

PiemēriLabot

Lauks   ar četriem elementiem, kura apakšlauks (zili simboli ar sārtu fonu) ir  
Saskaitīšana Reizināšana
+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O
· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

Lauki ir racionālie skaitļi  , reālie skaitļi   un kompleksie skaitļi   — katram no tiem ar parasto saskaitīšanu un reizināšanu izpildās visas lauka aksiomas. Nulles elements ir  , bet vienības elements ir  .[1]

Savukārt naturālie skaitļi   lauku (un pat grupu) neveido, jo tiem neeksistē pretējais elements. Piemēram, nav tāda naturāla skaitļa, ko varētu pieskaitīt pie   un iegūt  . Veselo skaitļu kopā   pretējie elementi eksistē, taču neeksistē inversie elementi: nav vesela skaitļa, kuru pareizinot ar   varētu iegūt  . Tāpēc arī veselie skaitļi neveido lauku, tie veido tikai gredzenu.[5][1]

Galīgi laukiLabot

Galīgi jeb Galuā lauki ir tādi lauki, kuros ir galīgs elementu skaits. Pats mazākais lauks ir divu elementu lauks   jeb  , kurā ir tikai   un  , to mēdz saukt arī par triviālo lauku.[1] Galīga lauka kārta jeb elementu skaits vienmēr ir kāda pirmskaitļa pakāpe  . Galīgi lauki ar to pašu kārtu ir izomorfi, t.i. to struktūra ir vienāda, tikai elementi var būt nosaukti atšķirīgos vārdos. Pieņemts lauku ar kārtu   apzīmēt kā   vai  .[6]

AtsaucesLabot

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Kārlis Podnieks. «Abstraktā algebra: Lauki, gredzeni un grupas». Skatīts: 2020-04-13.
  2. Christoforus Juan Benvenuto. «Galois Field in Cryptography», 2012-05-31. Skatīts: 2020-04-13.
  3. Eric W. Weisstein. «Field Axioms». Skatīts: 2020-04-13.
  4. Aivars Bērziņš. Algebra. Rīga : Latvijas Universitāte, 2001. ISBN 9789984725055.
  5. Eric W. Weisstein. «Field». Skatīts: 2020-04-13.
  6. Eric W. Weisstein. «Finite Field». Skatīts: 2020-13-04.