Polinoms

Polinoms ir funkcija, kas izsakāma kā viena vai vairāku monomu summa no viena vai vairākiem mainīgajiem. Piemēram, funkcija $\ x^{2}+3x-5$ ir vienargumenta polinoms, kura mainīgais ir $\ x$. $\ f=3x^{2}-4xy+x+2y-7$ ir divargumentu polinoms, kura mainīgie ir $\ x$ un $\ y$.

Polinoma jēdziens

Vispārīgajā gadījumā par polinomu (grieķu izcelsmes vārds; poli nozīmē "daudz", nomē - "daļa") sauc jebkuru monomu algebrisku summu, t.i., ar plusa vai mīnusa zīmēm savienotus monomus, kurus sauc par polinoma locekļiem. Ja polinomā ir tikai divi saskaitāmie, tad polinomu sauc par binomu, ja trīs saskaitāmie, tad par trinomu. Polinomus saskaitot, atņemot vai sareizinot, vienmēr rezultātā iegūst polinomu.

   3x + 5 (lineārs binoms)
   4x2 + 7x - 8 (kvadrāttrinoms)
   x3 - 4x2 + 6x + 2 (trešās pakāpes polinoms)

Vispārīgajā gadījumā n-tās pakāpes polinomu pieraksta šādi (polinoma normālforma):

   P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-3xn-3 + ... + a2x2 + a1x + a0.

a_n, a_n-1, a_n-2,..., a₂, a₁, a₀ - polinoma koeficienti

n - polinoma pakāpe (naturāls skaitlis)

a_nxⁿ - polinoma augstākās pakāpes loceklis

Ja kāds no polinoma koeficientiem (izņemot a_n) ir nulle, tad polinomu sauc par nepilnu n-tās pakāpes polinomu. Ja a_n = 1, tad polinomu sauc par reducētu polinomu. Skaitli ar kuru polinoma vērtība ir nulle, sauc par polinoma sakni. Polinoma sakne var būt gan reāls skaitlis, gan arī komplekss skaitlis.

Darbības ar polinomiem

Divus polinomus sauc par vienādiem, ja ir vienādas to pakāpes un ir vienādi visi šo polinomu koeficienti pie vienādām mainīgā lieluma pakāpēm, kā arī ir vienādi brīvie locekļi. Par nulles polinomu sauc polinomu, kuram visi koeficienti ir vienādi ar nulli.

Polinomu saskaitīšana un atņemšana

Par divu polinomu summu (starpību) sauc polinomu, kuru iegūst saskaitot (atņemot) dot polinomu koeficientus pie vienādiem mainīgā lieluma pakāpēm, piemēram, (3x² - 4x + 1) - (x² + 7x -4) = 2x² - 11x + 5. No piemēra redzams, ka saskaitīt (atņemt) var arī dažādu pakāpju polinomus; tad summā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar saskaitāmo polinomu lielāko pakāpi. Saskaitot (atņemot) vienādu pakāpju polinomus, iegūst polinomu ar tādu pašu (vai mazāku) pakāpi. Acīmredzami polinomu saskaitīšanai ir spēkā komutatīvā un asociatīvā īpašība.

Polinomu reizināšana

Par divu polinomu P_n(x) = a_nxⁿ + a^n-1x^n-1 + a_n-3x^n-3 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ un Q_m(x) = a_mx^m + a^m-1x^m-1 + a_m-3x^m-3 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ reizinājumu sauc polinomu, kura koeficientus atrod šādi:

brīvais loceklis ir a₀b₀;

koeficients pie x ir a₀b₁ + a₁b₀;

koeficients pie x² ir a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀;

koeficients pie x³' ir a₀b₃ + a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₀.

Praktiski divus polinomus reizina, pareizinot katru pirmā polinoma locekli ar katru otrā polinoma locekli un saskaitot iegūtos rezultātus. Reizinājumā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar doto polinomu pakāpju summu n + m. Polinomu reizināšanai ir spēkā komutatīvā, asociatīvā un distributīvā īpašība attiecībā pret polinomu summas reizināšanu ar polinomu.

Polinomu dalīšana

Par divu polinomu P_n(x) un Q_m(x) dalījumu sauc tādu polinomu S_k(x), kuru reizinot ar P_n(x) iegūst polinomu Q_m(x), t.i.,

          Qm(x) : Pn(x) = Sk(x), ja Pn(x) * Sk(x) = Qm(x). 

Taču ne katriem diviem polinomiem dalījums eksistē. Acīmredzami dalīt polinomu Q_m(x) ar P_n(x) var tikai tad, ja m ≥ n, t.i., ja dalāmā polinoma pakāpe m nav mazāka par dalītāja polinoma pakāpi n; pie tam k = m - n. No dalījuma definīcijas izriet polinomu dalīšanas algoritms.

Polinomu dalīšana ar binomu x - a. Bezū teorēma.

Polinomu algebrā īpaši aplūko gadījumu, kad polinoms ir jādala ar binomu x - a. Viegli pārliecināties, ka šādā gadījumā dalīšanas atlikums ir no x neatkarīgs lielums (skaitlis) r. Ja polinomu ar binomu var izdalīt bez atlikuma, tad atlikums r = 0.

Bezū teorēma (Etjēns Bezū (1730 - 1783) - franču matemātiķis): Ja, dalot Q(x) ar binomu x - a, iegūst atlikumu r, tad r = Q(a), t.i., dalīšanas atlikums ir vienāds ar polinoma Q(x) vērtību punktā a.

Pierādījums. Apzīmēsim S(x) dalīšanas rezultātā iegūto polinomu. Tad ir spēkā vienība Q(x) = S(x)(x - a) + r. Šī vienība ir pareiza ar visām x vērtībām. Ievietojot vienādībā x vietā skaitli a, iegūstam, ka Q(a) = S(a)(a - a) + r, No kurienes Q(a) = r. Līdz ar to teorēma ir pierādīta.

Secinājums. Polinomu Q(x) var izdalīt bez atlikuma ar binomu x - a tad un tikai tad, ja skaitlis a ir šī polinoma sakne (Q(a) = 0).

Bezū teorēmas secinājumu lieto, sadalot polinomus reizinātājos, saīsinot algebriskās daļas, atrisinot dažādas augstāku pakāpju algebriskus vienādojumus, ja ir zināma viena vai vairākas saknes.

Binomi un trinomi

Polinomus var sīkāk iedalīt pēc tā saskaitāmo skaita, tas ir, pēc monomu skaita. Polinomu, kurš sastāv no diviem monomiem, sauc par binomu. Piemēram,

$ax+7\,$ ir binoms.

Savukārt, polinomu, kurš sastāv no trim monomiem, sauc par trinomu. Piemēram,

$5a+3ab-b^{2}\,$ ir trinoms.

Polinomu īpašības

• Jebkura vienargumenta polinoma definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa R.
• Jebkuru divu polinomu no viena mainīgā $x$ summa, starpība un reizinājums arī ir polinoms no $x$;
• Jebkurš no konstantes atšķirīgs polinoms ir neierobežota funkcija;
• Polinomus atvasinot un integrējot atkal iegūst polinomus.

Polinoma pakāpe

Par vienargumenta polinoma pakāpi sauc lielāko kāpinātāju kāds ir pie tā mainīgā. Piemēram, $x^{2}+3x-5\,$ ir 2. pakāpes polinoms, $-7x\,$ ir 1. pakāpes polinoms utt. Parasti kāda polinoma $P(x)\,$ pakāpi apzīmē ar $deg(P(x))\,$.

Skatīt arī

• Kāpināšana
• Ņūtona binoms
• Monoms
• Splains