Peano aksiomas

Peano aksiomas (vai Dēdekinda-Peano aksiomas) ir aksiomas matemātiskajā loģikā, kas apraksta naturālo skaitļu un to aritmētikas īpašības. Tās 1889. gadā formulēja itāliešu matemātiķis Džuzepe Peāno. Šīs aksiomas ļauj caur dažiem simboliem un operācijām definēt bezgalīgu kopu, kas uzvedas precīzi kā labi pazīstamā naturālo skaitļu kopa $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}$, nevienā brīdī neatsaucoties un nebalstoties uz ierastajiem un cilvēkam ļoti intuitīvajiem skaitļu un skaitīšanas principiem.

Džuzepe Peano, 1858-1932

Vēsture

Vēsturiski naturālo skaitļu aritmētika tika pieņemta par pašsaprotamu un aritmētikas un naturālo skaitļu īpašību formalizēšanai netika pievērsts daudz uzmanības līdz pat 19.gs. vidum, kad Hermans Grasmanis parādīja, ka daudzas no artimētikas īpašībām var izvest no dziļākām pamata sakarībām.

1881. gadā Čārlzs Sanderss Pīrss piedāvāja savu aksiomatizācijas veidu naturālajiem skaitļiem, savukārt 1888. gadā Rihards Dēdekinds piedāvāja citu aksiomatizāciju savā darbā "Kas ir skaitļi un kādiem tiem jābūt?" (vācu: Was sind und wassollen die Zahlen?), un 1889. gadā Džuzepe Peano pirmoreiz publicēja tās pārveidotu variantu savā darbā "Aritmētikas principi, izklāstīti pēc jaunas metodes" (latīņu: Arithmetices principia, nova methodo exposita).

Formulējums

Aksiomu formulējums sastāv no deviņām aksiomām: četras no tām apraksta vienādības relācijas īpašības un pārējās piecas apraksta pašu aritmētiku. To aprakstā izmantoti matemātiskās loģikas un kopu teorijas apzīmējumi, kas tajā laikā vēl nebija izstrādāti un iegājušies; vairāki no mūsdienu matemātiskās loģikas simboliem nāk tieši no Peano izmantotajiem apzīmējumiem savos darbos, piemēram, piederība kopai "∈" no Peano izmantotā simbola "ε". Peano aksiomas ir minimāla aksiomu kopa, kas definē naturālo skaitļu $\mathbb {N}$ artimētiskās īpašības, izmantojot simbolu 0 un pēcteča funkciju $S(n)$.

Pirmā aksioma postulē simbolu "0" par naturālu skaitli:

• $\exists 0\in \mathbb {N}$ ("0 ir naturāls skaitlis")

Oriģinālajā Peano formulējumā izmantots simbols "1", bet tam šajā kontekstā nav nozīmes - tas ir tikai apzīmējums "pirmajam" naturālajam skaitlim.

Nākamās četras apraksta matemātisko vienādību. Šīs nereti tiek izlaistas no Peano aksiomu formulējuma, tomēr simbols "=" ir tikai simbols, tādēļ ir svarīgi definēt, kādas ir tā īpašības:

• $\forall x:x=x$

("vienādība ir refleksīva")

• $\forall x,y\in \mathbb {N} :x=y\Rightarrow y=x$

("vienādība ir simetriska")

• $\forall x,y,z\in \mathbb {N} :\ x=y\ \And \ y=z\Rightarrow x=z$

("vienādība ir tranzitīva")

• $\forall x,y:\ x\ \in \mathbb {N} \ \And \ x=y\Rightarrow y\in \mathbb {N}$

("naturālo skaitļu kopa ir slēgta zem vienādības")

Un tālākās aksiomas apraksta naturālo skaitļu aritmētiku, ieviešot pēcteča funkciju:

• $\forall n\in \mathbb {N} :S(n)\in \mathbb {N}$

("katram naturālam skaitlim n tā pēctecis arī ir naturāls skaitlis")

• $\forall m,n\in \mathbb {N} :m=n\iff S(m)=S(n)$

("skaitļi m un n ir vienādi tad un tikai tad, ja to pēcteči arī ir vienādi; funkcija S ir injektīva")

• $\forall n\in \mathbb {N} :S(n)\neq 0$

("neviena naturāla skaitļa pēctecis nav 0")

Piemēram, pēc šīm pēdējām 3 aksiomām iespējams definēt skaitli $1$ kā $S(0)$ un skaitli $2$ kā $S(1)=S(S(0))$. Tomēr šīs aksiomas negarantē, ka šādi tiks radīti tieši visi naturālie skaitļi, jo nav teikts, ka ikvienam naturālam skaitlim ir obligāti jāseko kādam citam. Piemēram, ir iespējama kopa $\mathrm {A} =\{0,1,2,3...\}\cup \{a,b\}$, kur $a=S(b)\ \And \ b=S(a)$, kas apmierina līdzšinējās aksiomas, bet acīmredzot nav vēlamā naturālo skaitļu kopa. Tādēļ tiek pievienota pēdējā indukcijas aksioma:

• $\exists \mathrm {K} \subset \mathbb {N} :$$0\in \mathrm {K}$

     $\forall n\in \mathbb {N} ,\mathrm {K} \implies S(n)\in \mathrm {K}$

     $\Rightarrow \mathrm {K} =\mathbb {N}$ ("ja K ir kopa, kas satur skaitli 0 un ikvienu n un tā pēcteci S(n), tad kopa K ir naturālo skaitļu kopa)

Pēc šīs pēdējās aksiomas pievienošanas, visas aksiomas kopā garantē, ka pēc tām var izveidot vienu vienīgu naturālo skaitļu kopu $\mathbb {N}$, kas ir minimālā visus nosacījumus apmierinošā kopa. Piedevām šajā formulējumā nav svarīgi, kā tieši strādā pēcteča funkcija $S(n)$ vai kas īsti ir radušies naturālie skaitļi pēc būtības - galvenais ir tas, ka pēc šīm sakarībām iegūtā kopa pēc dabas ir identa naturālo skaitļu kopai un to aritmētikai.

Izejot no $\mathbb {N}$ kopas un tās īpašībām, iespējams tālāk definēt veselo skaitļu kopu $\mathbb {Z}$, racionālo skaitļu kopu $\mathbb {Q}$, reālo skaitļu kopu $\mathbb {R}$ utt.

Aksiomātiskā aritmētika

Šīs aksiomas un tajās izmantotā pēcteča funkcija ļauj ne vien precīzi definēt naturālo skaitļu kā kopas īpašības, bet arī tradicionālo aritmētisko darbību ($+,\times$) īpašības, kuras var veikt šajā naturālo skaitļu kopā.

Saskaitīšana

Izmantojot tikai Peano aksiomas, definēsim saskaitīšanas darbību. Izmantosim to, ka $a,b\in \mathbb {N}$ un $0\in \mathbb {N}$, lai vispirms aprakstītu, ko nozīmē pieskaitīt 0:

     $a+0=a$

Divu naturālo skaitļu summa var tikt definēta pēc:

     $a+S(b)=S(a+b)$

Izejot no šī, piemēram apskatām $1+1$. Ievērojot, ka $1=S(0)$:

     $1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2$.

Šādi iteratīvā ceļā var iegūt visus saskaitīšanas operācijas rezultātus naturālajos skaitļos.

     $2+2=2+S(1)=S(2+1)=S(2+S(0))=S(S(2+0))=S(S(2))=S(3)=4$

Reizināšana

Līdzīgi var definēt reizināšanas darbības īpašības. Vispirms definē reizināšanu ar 0:

     $a\times 0=0$

Divu naturālo skaitļu reizinājumu var definēt pēc:

     $a\times S(b)=a+(a\times b)$

Pēc šī varam apskatīt patvaļīga skaitļa reizināšanu ar 1: $a\times 1$. Izmantojot, ka $1=S(0)$:

     $a\times 1=a\times S(0)=a+(a\times 0)=a+0=a$.

Šādi, tāpat kā saskaitīšanas gadījumā, var aprakstīt visus iespējamos rezinājumus starp diviem naturāliem skaitļiem.

     $3\times 2=3\times S(1)=3+(3\times 1)=3+3=6$

Sakārtojums

Naturālo skaitļu sakārtojums definējams pēc:

     $\forall a,b\in \mathbb {N} :a\leq b\iff \exists c\in \mathbb {N} :a+c=b$

Un, turpinot:

     $\forall a,b,c\in \mathbb {N} :a\leq b$

     $\rightarrow a+c\leq b+c\ \And \ a\times c\leq b\times c$

Struktūra $(\mathbb {N} ,0,S(0),+,\times )$ veido komutatīvu, sakārtotu algebrisko pusgredzenu.

Peano aritmētikas aksiomas

Šīs sešas aksiomas ir pietiekamas, lai spētu aprakstīt saskaitīšanu un reizināšanu naturālo skaitļu kopā:

• $\forall x\ (0\neq S(x))$
• $\forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)$
• $\forall x\ (x+0=x)$
• $\forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))$
• $\forall x\ (x\cdot 0=0)$
• $\forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)$

Pastāv arī alternatīvi Peano aritmētikas aksiomatizācijas veidi.

Naturālie skaitļi no kopām

Kopu konstrukcija

Tukša kopa

Naturālos skaitļus iespējams konstruēt, izmantojot tikai kopu teorijas aksiomas. Šādā veidā aprakstot naturālos skaitļus kā kopas, Peano aksiomas pārtop par teorēmām, kuras iespējams pierādīt, izejot tikai no kopu teorijas aksiomām. Pastāv vairāki konstrukcijas tipi, izejot no Cermelo-Frenkela (ZFC) aksiomām. Populārākā ir Džona fon Neimana konstrukcija, kur pēcteča operāciju definē:

     $S:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$

     $S(\mathrm {A} )=\mathrm {A} \cup \{\mathrm {A} \}$

Un definē 0 kā tukšo kopu:

     $0=\emptyset$

Izmantojot funkciju $S$, veido jaunus elementus, kurus var apzīmēt ar tradicionālajiem skaitļu simboliem:

     $S(0)=S(\emptyset )=\emptyset \ \cup \ \{\emptyset \}=\{0\}=1$

     $S(1)=S(\{\emptyset \})=\{\emptyset \}\cup \{\{\emptyset \}\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}=2$

     $S(2)=S(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}=3$

     utt.

Definē pēcteču kopu, kas satur tukšo kopu un visus tās pēctečus:

     $\exists \mathrm {P}$

     $\emptyset \in \mathrm {P} \ \And \ \forall x:S(x)\in \mathrm {P}$

Šī pēcteču kopa ir vienāda ar naturālo skaitļu kopu $\mathbb {N}$. Atkal, visas ierastās aritmētiskās īpašības izriet dabiski no šīs konstrukcijas radītās struktūras un tās dabas.

Peano aksiomu pierādījums

Izmantojot šo formulējumu, kas balstās uz vēl fundamentālākajām kopu teorijas (ZFC) aksiomām, iespējams Peano aksiomas pierādīt kā teorēmas.

Daži piemēri:

• Apgalvojums:

     $\exists 0\in \mathbb {N}$ ("0 ir naturāls skaitlis")

• Pierādījums:

     $\mathbb {N}$ ir pēcteču kopa un pēcteču kopas satur $\emptyset =0$, tātad $0\in \mathbb {N}$.     

• Apgalvojums:

     $\forall n\in \mathbb {N} :S(n)\in \mathbb {N}$ ("naturāla skaitļa n pēctecis ir naturāls skaitlis")

• Pierādījums:

     $\mathbb {N}$ ir pēcteču kopa un tā satur visus pēctečus $S(n)$.     

• Apgalvojums:

     $\forall n\in \mathbb {N} :0\neq S(n)$ ("0 nav neviena naturāla skaitļa pēctecis")

• Pierādījums:

     $0=\emptyset$ nesatur nevienu elementu, bet pēc definīcijas $S(\mathrm {A} )=\mathrm {A} \cup \{\mathrm {A} \}$ satur vismaz vienu elementu ($\mathrm {A} \in S(\mathrm {A} )$).     

• Apgalvojums:

     $\mathbb {N}$ kopa ir unikāla.

• Pierādījums:

     Pieņemam, ka tā nav. Tātad pastāv kāda cita pēcteču kopa $\mathrm {\Psi }$. Tā kā $\mathbb {N}$ ir pēcteču kopa, tad $\mathrm {\Psi } \subset \mathbb {N}$. Bet $\mathbb {N}$ ir pēcteču kopa, kas iekļauta ikvienā citā pēcteču kopā, tādēļ $\mathbb {N} \subset \mathrm {\Psi }$.      Tas iespējams, ja šīs kopas satur vienus un tos pašus elementus un, pēc ekstensijas aksiomas, ir vienādas, t.i., $\mathrm {\Psi } =\mathbb {N}$ un pastāv tikai viena naturālo skaitļu kopa.

Konsistence

Peano aksiomu konsistence bija jautājums, kas radās uzreiz pēc to pirmās publicēšanas. Matemātiķi kā Bērtrands Rasels bija pārliecināti, ka šī aksiomatizācija ir skaidra definīcija naturālajiem skaitļiem, bet citi norādīja uz to, ka šīm aksiomām nav konsistences pierādījums. Dāvids Hilberts iekļāva jautājumu "Vai Peano aksiomu konsistenci ir iespējams pierādīt ar galīgām metodēm?" savās 23 matemātiskajās problēmās. Īsi pēc tam Kurts Gēdels publicēja savu nepabeigtības teorēmu.

Tomēr, lai arī šī teorēma šķietami norāda uz to, ka Peano aksiomas nav pierādāmas ar galīgām metodēm, nav līdz galam skaidrs, ko nozīmē galīgas metodes. Pastāv vairāki Peano aksiomu pierādījumi, jauni arvien turpina parādīties. Tie mēdz izmantot ekstendētas metodes, piemēram, transfinītu indukciju, kur it kā transfinītos objektus (tālāk par bezgalību), ko izmanto pierādījumā, iespējams definēt caur galīgu aprakstu un objektiem. Tāds, piemēram, ir 1936. gadā publicētais Gerharda Gencena Peano aksiomu pierādījums. Šis pierādījums ir matemātiski valids un precīzs.

Peano aksiomu konsistenci neuzskata vairs par atvērtu problēmu ierastajā matemātiskajā izpratnē. Lai arī vairākums matemātiķu mūsdienās ir pārliecināti par šo aksiomu konsistenci, sastopami ir arī skeptiski matemātiķi, kas šīs aksiomas atmet. Tomēr paliek jautājums, vai mēs uzticamies loģiskajai spriešanai un simbolu manipulācijām pašā fundamentā. Šādu jautājumu ir praktiski neiespējami atbildēt, jo vienmēr jābūt izejas punktam, kuru jāpieņem bez pierādījuma.

Jāmin arī, ka, ja Peano aksiomas patiešām ir konsistentas, tad tām neizbēgami jābūt nepabeigtām, citiem vārdiem, jāpastāv apgalvojumiem par naturāliem skaitļiem, kurus ar Peano aksiomām nav iespējams pierādīt.