Mazākais kopīgais dalāmais

Matemātikā par divu vai vairāk veselu skaitļu mazāko kopīgo dalāmo sauc mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem bez atlikuma. Piemēram, skaitļu 6 un 15 mazākais kopīgais dalāmais ir MKD(6, 15) = 30, jo 30 dalās gan ar 6, gan 15, bet nav neviena mazāka naturāla skaitļa, kas ar tiem abiem dalītos.

Apzīmējumi

Literatūrā, kas ir latviešu valodā, skaitļu a un b mazāko kopīgo dalāmo parasti apzīmē ar MKD(a, b) vai retāk ar md(a, b). Krievu valodā lieto apzīmējumu НОК(a, b), kas ir saīsinājums no наименьшее общее кратное, bet angļu valodā visbiežāk ir sastopams apzīmējums lcm(a, b), kas ir saīsinājums no least common multiple. Skaitļu teorijā mazāko kopīgo dalāmo īsuma labad mēdz apzīmēt vienkārši ar [a, b].

Aprēķināšana

Lai atrastu skaitļu a, b > 0 mazāko kopīgo dalāmo, to reizinājumu izdala ar lielāko kopīgo dalītāju LKD(a, b), kuru var atrast ar Eiklīda algoritma palīdzību. Ja kāds no skaitļiem ir negatīvs, tad reizinājumam nepieciešams ņemt absolūto vērtību:

$\operatorname {MKD} (a,b)={\frac {|ab|}{\operatorname {LKD} (a,b)}}.$

Piemēram, skaitļu 6 un 15 reizinājums ir 90 un to lielākais kopīgais dalītājs ir LKD(6, 15) = 3, tātad MKD(6, 15) = 90/3 = 30.

Īpašības

Operācijai MKD piemīt šādas īpašības (šeit a, b, c un m > 0 ir naturāli skaitļi):

• MKD(a, a) = a (idempotence).
• MKD(a, b) = MKD(b, a) (komutativitāte).
• MKD(a, MKD(b, c)) = MKD(MKD(a, b), c) = LKD(a, b, c) (asociativitāte).
• MKD(m · a, m · b) = m · MKD(a, b) (multiplikativitāte).
• Ja a vai b dalās ar m, tad MKD(a, b) arī dalās ar m. Ja gan a, gan b dalās ar m, tad MKD(a/m, b/m) = MKD(a, b) / m.
• MKD(a^m, b^m) = MKD(a, b)^m.

Pielietojumi

Kopīga saucēja atrašana

Lai saskaitītu daļskaitļus ar atšķirīgiem saucējiem, saucējus nepieciešams vienādot (jeb atrast kopīgu saucēju). Kopīgais saucējs ir vienāds ar abu saucēju mazāko kopīgo dalītāju. Piemēram, daļskaitļu 1/6 un 4/9 kopīgais saucējs ir MKD(6, 9) = 18. Lai vienādotu saucējus, pirmā daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāpareizina ar 18/6 = 3:

${\frac {1}{6}}={\frac {1\cdot 3}{6\cdot 3}}={\frac {3}{18}},$

bet otrā daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir jāpareizina ar 18/9 = 2:

${\frac {4}{9}}={\frac {4\cdot 2}{9\cdot 2}}={\frac {8}{18}}.$

Tagad abi saucēji sakrīt, tāpēc daļskaitļus ir viegli saskaitīt:

${\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}={\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}={\frac {11}{18}}.$

Perioda noteikšana

Pieņemsim, ka ir dots liels skaits flīzīšu — katra no tām garumā a vai b (naturāli skaitļi) — un no tām ir nepieciešams izveidot divas vienāda garuma rindas (katru no sava veida flīzītēm). Kāds ir īsākais iespējamais rindas garums? Skaidrs, ka pirmās rindas garums dalīsies ar a, bet otrās rindas garums — ar b. Tā kā MKD(a, b) ir mazākais skaitlis, kas dalās gan ar a, gan b, tad atbilde ir "MKD(a, b)". Var ievērot, ka šis lielums ir vienāds arī ar periodu rakstam, kuru iegūst abas flīzīšu rindas neierobežoti turpinot.

Piemēram, ja a = 6 un b = 9, tad trīs (oranžas) flīzītes garumā 6 veidos tikpat garu rindu kā divas (dzeltenas) flīzītes garumā 9. Abos gadījumos iegūtās rindas garums ir 18 un tas ir mazākais iespējamais, jo MKD(6, 9) = 18. Oranžo un dzelteno flīzīšu veidotais raksts atkārtojas ar periodu 18:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
6						6						6
9									9

Šo ideju var nedaudz vispārināt un izteikt abstraktākā formā: ja a₁, a₂, a₃, … un b₁, b₂, b₃, … ir divas periodiskas virknes, kuru periodi ir attiecīgi T_a un T_b, tad pārīšu virknes (a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃), … periods ir MKD(T_a, T_b).

Skatīt arī

• Dalītājs
• Lielākais kopīgais dalītājs
• Eiklīda algoritms
• Paplašinātais Eiklīda algoritms

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Least Common Multiple, MathWorld.
• Mazākais kopīgais dalāmais, BOOT.Lv.