Kosinusu teorēma trigonometrijā ir teorēma, kas apgalvo, ka trijstūrī jebkuras malas kvadrāts ir izsakāms ar divu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršais reizinājums ar ietvertā leņķa (izsakāmās malas pretējais leņķis) kosinusu. Matemātiski tas pierakstāms šādi:

Šajā trijstūrī leņķi α (vai A), β (vai B) un γ (vai C) attiecināmi attiecīgi pret a, b un c malām
,

kur ir leņķis starp a un b malām.

No kosinusu teorēmas var tikt iegūta Pitagora teorēma, kas ir pareiza taisniem leņķiem: ja leņķis ir 90° liels, tad cos = 0 un kosinusu teorēma reducējas uz Pitagora teorēmu:

Parasti kosinusu teorēmu izmanto, ja ir zināmi trijstūra visu trīs malu garumi vai arī, ja ir zināmi divu malu garumi un leņķis starp tām.

Mainot malu a, b un c lomas oriģinālajā formulā, var tikt iegūtas šādas formulas:

Teorēmu rietumu pasaulē 16. gadsimtā popularizējis Fransuā Vjets.

Pierādījumi labot šo sadaļu

 
Dažādmalu šaurleņķu trijstūris

Pierādījums dažādmalu šaurleņķu trijstūriem labot šo sadaļu

Pierādījums trijstūriem, kuriem visi leņķi mazāki vai vienādi par  

  1. Pēc kosinusa definīcijas   jeb  
  2. Noņemot šo no malas   iegūst  
  3. Pēc sinusa definīcijas   jeb  
  4. Izmantojot Pitagora teorēmu, trijstūrī    
  5. Ievietojot   un  , iegūst  
  6. Atverot iekavas,  
  7. Pārkārtojot izteiksmi,  
  8. Izvelkot   pirms iekavām,  
  9. Pēc trigonometriskās pamatidentitātes  , tādēļ izteiksme vienkāršojas  

Pierādījums dažādmalu platleņķa trijstūriem labot šo sadaļu

 
Dažādmalu platleņķa trijstūris

Nepieciešams nedaudz citādāks pierādījums trijstūriem, kuriem viens leņķis ir lielāks par  , jo divi augstumi ir ārpus trijstūra, līdz ar to nepieciešams papildināt zīmējumu.

  1. Pēc sinusa definīcijas,   jeb  
  2. Pēc kosinusa definīcijas   jeb  
  3. Noņemot b no abām pusēm, iegūst  
  4. Izmantojot Pitagora teorēmu, trijstūrī    
  5. Ievietojot   un   iegūst  
  6. Atverot iekavas iegūst  
  7. Izvelkot   pirms iekavām,  
  8. Pēc trigonometriskās pamatidentitātes  , tādēļ izteiksme vienkāršojas  

Novelkot citu augstumu un atkārtojot šo procesu, var pierādīt kosinusu teorēmu pārējām malām.[1]

Skatīt arī labot šo sadaļu

Ārējās saites labot šo sadaļu

Atsauces labot šo sadaļu

  1. «Proof of the Law of Cosines - Math Open Reference». mathopenref.com. Skatīts: 2023-01-24.