Kosinusu teorēma

Kosinusu teorēma trigonometrijā ir teorēma, kas apgalvo, ka trijstūrī jebkuras malas kvadrāts ir izsakāms ar divu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršais reizinājums ar ietvertā leņķa (izsakāmās malas pretējais leņķis) kosinusu. Matemātiski tas pierakstāms šādi:

Šajā trijstūrī leņķi α (vai A), β (vai B) un γ (vai C) attiecināmi attiecīgi pret a, b un c malām

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$,

kur $\gamma \,$ ir leņķis starp a un b malām.

No kosinusu teorēmas var tikt iegūta Pitagora teorēma, kas ir pareiza taisniem leņķiem: ja leņķis $\gamma \,$ ir 90° liels, tad cos $\gamma \,$ = 0 un kosinusu teorēma reducējas uz Pitagora teorēmu:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$

Parasti kosinusu teorēmu izmanto, ja ir zināmi trijstūra visu trīs malu garumi vai arī, ja ir zināmi divu malu garumi un leņķis starp tām.

Mainot malu a, b un c lomas oriģinālajā formulā, var tikt iegūtas šādas formulas:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\,$

Teorēmu rietumu pasaulē 16. gadsimtā popularizējis Fransuā Vjets.

Pierādījumi

Dažādmalu šaurleņķu trijstūris

Pierādījums dažādmalu šaurleņķu trijstūriem

Pierādījums trijstūriem, kuriem visi leņķi mazāki vai vienādi par $90^{\circ }$

1. Pēc kosinusa definīcijas $cos(C)=CR'/a$ jeb $CR'=a*cos(C)$
2. Noņemot šo no malas $b$ iegūst $AR=b-a*cos(C)$
3. Pēc sinusa definīcijas $sin(C)=h1/a$ jeb $h1=a*sin(C)$
4. Izmantojot Pitagora teorēmu, trijstūrī $ABR$ $c^{2}=AR^{2}+h1^{2}$
5. Ievietojot $AR$ un $h1$, iegūst $c^{2}=(b-a*cos(C))^{2}+(a*sin(C))^{2}$
6. Atverot iekavas, $c^{2}=b^{2}-2ab*cos(C)+a^{2}*cos^{2}(C)+a^{2}*sin^{2}(C)$
7. Pārkārtojot izteiksmi, $c^{2}=a^{2}*sin^{2}(C)+a^{2}*cos^{2}(C)+b^{2}-2ab*cos(C)$
8. Izvelkot $a^{2}$ pirms iekavām, $c^{2}=a^{2}(sin^{2}(C)+cos^{2}(C))+b^{2}-2ab*cos(C)$
9. Pēc trigonometriskās pamatidentitātes $sin^{2}(a)+cos^{2}(a)=1$, tādēļ izteiksme vienkāršojas $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*cos(C)$

Pierādījums dažādmalu platleņķa trijstūriem

Dažādmalu platleņķa trijstūris

Nepieciešams nedaudz citādāks pierādījums trijstūriem, kuriem viens leņķis ir lielāks par $90^{\circ }$, jo divi augstumi ir ārpus trijstūra, līdz ar to nepieciešams papildināt zīmējumu.

1. Pēc sinusa definīcijas, $sin(C)=h1/a$ jeb $h1=a*sin(C)$
2. Pēc kosinusa definīcijas $cos(C)=(b+A'R)/a$ jeb $b+A'R=a*cos(C)$
3. Noņemot b no abām pusēm, iegūst $A'R=a*cos(C)-b$
4. Izmantojot Pitagora teorēmu, trijstūrī $A'BR$ $c^{2}=h1^{2}+A'R^{2}$
5. Ievietojot $h1$ un $A'R$ iegūst $c^{2}=(a*sin(C))^{2}+(a*cos(C)-b)^{2}$
6. Atverot iekavas iegūst $c^{2}=a^{2}*sin^{2}(C)+a^{2}*cos^{2}(C)-2ab*cos(C)+b^{2}$
7. Izvelkot $a^{2}$ pirms iekavām, $c^{2}=a^{2}(sin^{2}(C)+cos^{2}(C))-2ab*cos(C)+b^{2}$
8. Pēc trigonometriskās pamatidentitātes $sin^{2}(a)+cos^{2}(a)=1$, tādēļ izteiksme vienkāršojas $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*cos(C)$

Novelkot citu augstumu un atkārtojot šo procesu, var pierādīt kosinusu teorēmu pārējām malām.

Skatīt arī

• Sinusu teorēma

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ieraksts^{[novecojusi saite]} (angliski)
• Uzdevumi.lv ieraksts