Pitagora teorēma

Eiklīda ģeometrijā Pitagora teorēma ir sakarība starp taisnleņķa trijstūra malu garumiem un tā hipotenūzas garumu: ja taisnleņķa trijstūra katešu garumi ir a un b, bet hipotenūzas garums ir c, tad a²+b²=c². Pitagora teorēma skan šādi: Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas garuma kvadrāts vienāds ar abu katešu garumu kvadrātu summu.

Teorēma ir nosaukta par godu sengrieķu matemātiķim un filozofam Pitagoram, kurš to pirmais ir pierādījis.

Trīs praktiski pielietojamas teorēmas formas:

$c={\sqrt {b^{2}+a^{2}}},$ $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$ un $a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.$

Pierādījumi

Vizuāls (intuitīvs) pierādījums:

Pitagora teorēma ir visvairāk veidos pierādāmā teorēma, grāmatā The Pythagorean Proposition ir 370 dažādi pierādījumi. Populārākais Pitagora teorēmas pierādījuma veids ir Pitagora skaitļi. Pitagora teorēmas vispārinājums ir Ptolemaja teorēma un de Guā teorēma.

Pierādījums, izmantojot līdzīgu trijstūri

{\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)

{\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)

No attēla $c=d+e\,\!$ . Un, aizstājot izteiksmes (1) un (2):

c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}

Reizinot ar c:

c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.

Pielietošana

Jaunākais (riņķa līnijai tuvākais) perimetrs, ko iegūst, dubultojot iepriekšējā perimetra malu, tiek izrēķināts, pamatojoties uz taisnleņķa trijstūriem, kas rodas tā konstruēšanā

Riņķa līnijas mērīšanā Arhimēds izmantoja Pitagora teorēmu, lai aprēķinātu π vērtību. To viņš darīja, apvelkot ap riņķi regulāru sešstūri un ievelkot riņķī mazāku sešstūri (riņķa līnijas garums bija pa vidu starp šo sešstūru perimetriem). Pēc tam viņš pakāpeniski dubultoja regulāro daudzstūru malu skaitu (iegūstot divpadsmitstūrus, divdesmitčetrstūrus utt.), ar katru soli tuvinot to perimetrus riņķa līnijas garumam. Šos perimetrus viņš izrēķināja ar Pitagora teorēmas palīdzību.

Kvadrāta diagonāles

d^{2}=l^{2}+l^{2}=2\,l^{2}.

d={\sqrt {2\,l^{2}}}=l{\sqrt {2}}.

Vienādmalu trīsstūra augstums

l^{2}=h^{2}+\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}=h^{2}+{\frac {l^{2}}{4}}

h^{2}={\frac {3\,l^{2}}{4}}.

h={\sqrt {\frac {3\,l^{2}}{4}}}={\frac {l{\sqrt {3}}}{2}}.

Kuba diagonāles

Zilā raustītā līnija (AC') ir kuba diagonāle, bet sarkanā (AC) — vienas skaldnes diagonāle

Ja a ir kuba vienas šķautnes garums, tad skaldnes diagonāles AC garuma kvadrāts saskaņā ar Pitagora teorēmu ir:

AC^{2}=a^{2}+a^{2}.

(I)

Pēc tās pašas teorēmas, kuba diagonāles AC' kvadrāts ir:

AC'^{2}=a^{2}+AC^{2}.

(II)

No I un II:

AC'^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}.

Tātad:

AC'={\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {3}}a.

Taisnleņķa trijstūra pazīme

Ja trijstūra vienas malas garuma kvadrāts vienāds ar abu pārējo malu garumu kvadrātu summu, tad šīs malas pretleņķis ir taisns un trijstūris ir taisnleņķa.

Piemērs: vai trijstūris, kam malu garumi ir 6 cm, 7 cm un 9 cm, ir taisnleņķa?

Risinājums: Izvēlas garāko malu un pārbauda, vai izpildās Pitagora teorēma: 9²=6²+7² redzam, ka 81≠36+49, tātad šis nav taisnleņķa trijstūris.