Sinusu teorēma

Sinusu teorēma trigonometrijā ir teorēma, kas apgalvo, ka trijstūrī malas ir proporcionālas pretleņķa sinusiem. Matemātiski tas pierakstāms šādi:

kur a, b un c ir trijstūra malu garumi, A, B un C ir malu pretējie leņķi, savukārt R ir ap trijstūri apvilktās riņķa līnijas rādiuss.

Parasti sinusu teorēmu izmanto, ja ir zināmi trijstūra divi leņķi un viena mala vai, ja zināmi divu malu garumi un kāds no pieleņķiem.

PierādījumiLabot

Pierādījums dažādmalu šaurleņķu trijstūriemLabot

 
Dažādmalu šaurleņķu trijstūris ar augstumu h1, kas ir novilkts no virsotnes B

Pierādījums trijstūriem, kuriem visi leņķi mazāki vai vienādi par  

  1. Uzzīmēt trijstūri ar augstumu   no virsotnes  
  2. No sinusa definīcijas:   un   jeb   un  
  3. Tā kā abas izteiksmes ir vienādas ar  , tad   =  
  4. Izdalot abas puses ar   un   iegūst izteiksmi  

Novelkot citu augstumu un atkārtojot šo procesu var iegūt pilno sinusu teorēmu.

Pierādījums dažādmalu platleņķa trijstūriemLabot

 
Dažādmalu platleņķa trijstūris ar augstumu h1, kas ir novilkts no virsotnes B

Nepieciešams nedaudz savādāks pierādījums trijstūriem, kuriem viens leņķis ir lielāks par  , jo divi augstumi ir ārpus trijstūra.[1]

  1. Pēc iepriekš minētās metodes, novilkt augstumu no virsotnes no   un iegūt izteiksmi  
  2. Novilkt augstumu   no virsotnes  . Lai to izdarītu, zīmējums ir jāpapildina
  3. Leņķi  , jo tie ir blakusleņķi, tādēļ to sinusi ir vienādi
  4. Iegūstam izteiksmi   jeb  
  5. Lielajā trijstūrī    , jeb  
  6. Tā kā abas izteiksmes ir vienādas ar  , tad   =  
  7. Izdalot abas puses ar   un   iegūst izteiksmi  
  8. Apvienojot izteiksmes iegūst  
 
Dažādmalu trijstūris ar apvilktu riņķa līniju un ABD trijstūra papildinājumu

Pierādījums apvilktā riņķa diametra saistībaiLabot

  1. Dots trijstūris   un apvilktā riņķa līnija. Uzzīmēt klāt trijstūri  , lai tas šķērsotu apvilktā riņķa centru  
  2. Leņķis   ir   centra leņķis, tādēļ   =  , jo tas ir ievilkts leņķis un balstās uz   loku  
  3.   ir taisnleņķa trijstūris, tādēļ  , kur  
  4. Leņķi   un   ir ievilkti leņķi un ietver to pašu loku  , tādēļ   =  
  5. Sinuss pie tiem pašiem leņķiem ir vienāds, tādēļ  
  6. Pārkārtojot dotos iegūst izteiksmi  

Pierādot pārējo malu un pretējo leņķu sinusu attiecību, iegūst pilno sinusa teorēmu.[2]

Skatīt arīLabot

Ārējās saitesLabot

AtsaucesLabot

  1. «Proof of the Law of Sines - Math Open Reference». mathopenref.com. Skatīts: 2023-01-18.
  2. «Law of Sines». 18.09.2018. Arhivēts no oriģināla, laiks: 18.09.2018. Skatīts: 19.01.2023.