Sinusu teorēma

Sinusu teorēma trigonometrijā ir teorēma, kas apgalvo, ka trijstūrī malas ir proporcionālas pretleņķa sinusiem. Matemātiski tas pierakstāms šādi:

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,2R\!$

kur a, b un c ir trijstūra malu garumi, A, B un C ir malu pretējie leņķi, savukārt R ir ap trijstūri apvilktās riņķa līnijas rādiuss.

Parasti sinusu teorēmu izmanto, ja ir zināmi trijstūra divi leņķi un viena mala vai, ja zināmi divu malu garumi un kāds no pieleņķiem.

Pierādījumi

Pierādījums dažādmalu šaurleņķu trijstūriem

Dažādmalu šaurleņķu trijstūris ar augstumu h1, kas ir novilkts no virsotnes B

Pierādījums trijstūriem, kuriem visi leņķi mazāki vai vienādi par $90^{\circ }$

1. Uzzīmēt trijstūri ar augstumu $h1$ no virsotnes $B$
2. No sinusa definīcijas: $\sin A=h1/c$ un $\sin C=h1/a$ jeb $h1=\sin A*c$ un $h1=\sin C*a$
3. Tā kā abas izteiksmes ir vienādas ar $h1$, tad $\sin A*c$ = $\sin C*a$
4. Izdalot abas puses ar $\sin A$ un $\sin C$ iegūst izteiksmi ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,$

Novelkot citu augstumu un atkārtojot šo procesu var iegūt pilno sinusu teorēmu.

Pierādījums dažādmalu platleņķa trijstūriem

Dažādmalu platleņķa trijstūris ar augstumu h1, kas ir novilkts no virsotnes B

Nepieciešams nedaudz savādāks pierādījums trijstūriem, kuriem viens leņķis ir lielāks par $90^{\circ }$, jo divi augstumi ir ārpus trijstūra.

1. Pēc iepriekš minētās metodes, novilkt augstumu no virsotnes no $A$ un iegūt izteiksmi ${\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,$
2. Novilkt augstumu $h1$ no virsotnes $B$. Lai to izdarītu, zīmējums ir jāpapildina
3. Leņķi $\angle BAC+\angle BA'R=180^{\circ }$, jo tie ir blakusleņķi, tādēļ to sinusi ir vienādi
4. Iegūstam izteiksmi $\sin A=\sin A'=h1/c$ jeb $h1=\sin A*c$
5. Lielajā trijstūrī $BCR$ $\sin C=h/a$, jeb $h1=\sin C*a$
6. Tā kā abas izteiksmes ir vienādas ar $h1$, tad $\sin A*c$ = $\sin C*a$
7. Izdalot abas puses ar $\sin A$ un $\sin C$ iegūst izteiksmi ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,$
8. Apvienojot izteiksmes iegūst ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,$

Dažādmalu trijstūris ar apvilktu riņķa līniju un ABD trijstūra papildinājumu

Pierādījums apvilktā riņķa diametra saistībai

1. Dots trijstūris $ABC$ un apvilktā riņķa līnija. Uzzīmēt klāt trijstūri $ABD$, lai tas šķērsotu apvilktā riņķa centru $O$
2. Leņķis $\angle AOD$ ir $180^{\circ }$ centra leņķis, tādēļ $\angle ABD$ = $90^{\circ }$, jo tas ir ievilkts leņķis un balstās uz $180^{\circ }$ loku $AD$
3. $ABD$ ir taisnleņķa trijstūris, tādēļ $\sin \delta =c/2R$, kur $2R=d$
4. Leņķi $\delta$ un $\gamma$ ir ievilkti leņķi un ietver to pašu loku $AB$, tādēļ $\delta$ = $\gamma$
5. Sinuss pie tiem pašiem leņķiem ir vienāds, tādēļ $\sin \delta =\sin \gamma =c/2R$
6. Pārkārtojot dotos iegūst izteiksmi $c/\sin \gamma =2R$

Pierādot pārējo malu un pretējo leņķu sinusu attiecību, iegūst pilno sinusa teorēmu.

Skatīt arī

• Kosinusu teorēma

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ieraksts^{[novecojusi saite]} (angliski)
• Uzdevumi.lv ieraksts^{[novecojusi saite]}