Komutativitāte

Matemātikā komutativitāte ir īpašība, kas var piemist vairākargumentu funkcijai un binārai operācijai. Intuitīvi komutativitāte nozīmē to, ka funkcijas vai bināras operācijas vērtība nav atkarīga no tās argumentu secības. Ja argumentus drīkst mainīt vietām, tad saka, ka tie komutē. To, cik lielā mērā argumenti komutē, raksturo to komutators.

Operācijas, kas nav komutatīvas, sauc par nekomutatīvām. Nekomutatīvu operāciju argumenti nekomutē (to, cik lielā mērā tie nekomutē, raksturo antikomutators). Viens no nekomutatīvu operāciju veidiem ir antikomutatīvas operācijas jeb operācijas, kas ir "maksimāli nekomutatīvas" (argumentus mainot vietām parādās mīnusa zīme).

Komutativitātei līdzīga īpašība ir asociativitāte. Asociativitāte nozīmē to, ka operāciju izpildes secībai nav nozīmes (nevis operācijas argumentu secībai).

Ja grupas operācija ir komutatīva, tad šādu grupu sauc par komutatīvu jeb Ābela grupu.

Definīcija

Vārds "komutativitāte" ir cēlies no franču valodas un pirmo reizi parādījās publikācijā 1814. gadā

Bināru operāciju "∗" kopā S sauc par komutatīvu, ja jebkuriem diviem kopas S elementiem x un y izpildās īpašība x ∗ y = y ∗ x. Formāli to pieraksta šādi:

\forall x,y\in S:x\ast y=y\ast x,

kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder"). Līdzīgi definē komutatīvu divargumentu funkciju:

\forall x,y\in S:f(x,y)=f(y,x).

Šo definīciju var viegli vispārināt n argumentu funkcijai:

\forall x_{1},\dots ,x_{n}\in S,\,\forall \sigma \in S_{n}:f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}),

kur S_n ir skaitļu no 1 līdz n visu permutāciju kopa.

Piemēri ikdienā

Komutatīvas darbības ikdienā

Kurpju uzvilkšana ir komutatīva, jo rezultāts nav atkarīgs no tā, vai vispirms uzvelk labo kurpi un tad kreiso, vai otrādi.
Monētu iemešana kafijas automātā ir komutatīva, jo nav svarīgi kādā secībā tās tiek iemestas, svarīga ir tikai kopējā summa.

Nekomutatīvas darbības ikdienā

Kurpju un zeķu uzvilkšana nav komutatīvas darbības, jo, vispirms uzvelkot kurpes un tad zeķes, iegūst būtiski atšķirīgu rezultātu, nekā vispirms uzvelkot zeķes un tad kurpes.
Veļas mazgāšana un žāvēšana nav komutatīvas darbības.

Piemēri matemātikā

Komutatīvas operācijas

Operācija	Operācijas īpašība	Piemērs
Saskaitīšana	a + b = b + a	2 + 3 = 5, 3 + 2 = 5.
Reizināšana	a · b = b · a	3 · 5 = 15, 5 · 3 = 15.

Nekomutatīvas operācijas

Operācija	Operācijas īpašība	Piemērs
Atņemšana	a − b ≠ b − a	2 − 1 = 1, 1 − 2 = −1.
Dalīšana	a / b ≠ b / a	3 / 1 = 3, 1 / 3 = 1 / 3.
Kāpināšana	a^b ≠ b^a	2³ = 8, 3² = 9.
Matricu reizināšana	A · B ≠ B · A	$A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\,B={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ ${\begin{aligned}A\cdot B&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\B\cdot A&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}$
Funkciju kompozīcija	f ∘ g ≠ g ∘ f	f(x) = 2x, g(x) = x + 1, (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2, (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.
Kvaternionu reizināšana	a · b ≠ b · a	i · j = k, j · i = −k.

Skatīt arī

Ārējās saites

Eric W. Weisstein, Commutative un Commute, MathWorld.
Commutative Arhivēts 2009. gada 26. februārī, Wayback Machine vietnē. un Examples of non-commutative operations Arhivēts 2009. gada 28. septembrī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.