Furjē rinda

Furjē rinda ir periodiskas funkcijas izvirzīšana kā iespējams bezgalīgi daudzu trigonometrisku funkciju summa. Izvirzot funkciju kā rindu, vairākas problēmas kļūst vieglāk analizējamas, jo trigonometriskas funkcijas ir labāk saprastas. Piemēram, Žozefs Furjē izmantoja Furjē rindu, lai atrisinātu siltuma vienādojumu. Ja funkcijas ir gludas (nepieciešamais daudzums atvasinājumu eksistē un tie ir nepārtraukti), tad Furjē rinda vienmēr konverģē uz oriģinālo funkciju. Koeficientus rindai iegūst atrisinot integrāļus funkcijas reizinājumam ar sinusa un kosinusa funkcijām vai kompleksu eksponentfunkciju.

Funkcijas $y(x)=x^{3}$ intervāla $x\in (-\pi ,\pi ]$ (melns) attēlošana ar Furjē rindām. Pirmie 7 summas locekļi attēloti sarkani un pirmie 15 summas locekļiem attēloti zili.

Definīcija

Pastāv vairākas definīcijas, viena no tām ir šāda rinda:$$s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}+b_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$Ja funkcijas periods ir $2L$ un atbilst $2\pi$, tad izteiksme kļūst par$$s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos {\left(nx\right)}+b_{n}\sin {\left(nx\right)}$$Kur koeficientus $a_{n}$ un $b_{n}$ var aprēķināt pēc formulām:$$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot cos(nx)$$$$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot sin(nx)$$Atkarībā no patvaļīgas funkcijas perioda garuma $2L$, ja tas atšķiras no $2\pi$, tad koeficients priekšā integrālim, integrāļa robežas un triganometrisko funkciju argumenti mainās. Jo vairāk skaitā tiek ņemti summas locekļi, jo precīzāks būs rezultāts.

Vēl Furjē Rindu iespējams definēt ar kompeksu eksponentfunkciju summu. $$s_{\infty }(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}e^{2\pi inx/2L}$$ Koeficienti $C_{n}$ ir kompleksi skaitļi un tos nosaka ar integrāli:$$C_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{0}^{2L}e^{-2\pi inx/2L}s(x)\,dx.$$

Piemērs

Grafiks $s(x)=x/\pi$, kura perioda intervāls ir $(-\pi ,\pi ]$. Tā kā tā periods ir $2\pi$, tad izpildās nosacījums $s(x+2\pi )=s(x)$

Šīs funkcijas pirmo piecu Furjē rindas locekļu summa

Dota funkcija:

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {kad} -\pi <x<\pi ,$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {kad} -\pi <x<\pi {\text{ un }}k\in \mathbb {Z} .$

Frujē rindas koeficientus var aprēķināt pēc formulām:

${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

$A_{n}$ koeficienti ir nulle, jo ${\frac {x}{\pi }}\cdot cos(nx)$ ir nepāra funkcija, tādēļ simetrisks integrālis ap punktu 0 dod integrāļa vērtību nulle.

Pierakstot pašu Furjē rindu iegūst:

$s_{\infty }(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx)\right)={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx)$

Šī rinda tiecas uz oriģinālo funkciju visos punktos, izņemot pašos perioda galos.