Furjē rinda

Furjē rinda ir periodiskas funkcijas izvirzīšana kā iespējamu bezgalīgi daudzu trigonometrisku funkciju summa. Izvirzot funkciju kā rindu, vairākas problēmas kļūst vieglāk analizējamas, jo trigonometriskas funkcijas ir labāk izprotamas. Piemēram, Žozefs Furjē izmantoja savā vārdā nosaukto rindu, lai atrisinātu siltuma vienādojumu. Ja funkcijas ir gludas (nepieciešamais daudzums atvasinājumu eksistē un tie ir nepārtraukti), tad Furjē rinda vienmēr konverģē uz oriģinālo funkciju. Koeficientus rindai iegūst, atrisinot integrāļus funkcijas reizinājumam ar sinusa un kosinusa funkcijām vai kompleksu eksponentfunkciju.

Funkcijas $y(x)=x^{3}$ intervāla $x\in (-\pi ,\pi ]$ (melns) attēlošana ar Furjē rindām. Pirmie 7 summas locekļi attēloti sarkani un pirmie 15 summas locekļi attēloti zili

Definīcija

Furjē rinda patvaļīgai funkcijai. Kad rindas locekļu skaits ir liels, pārtraukuma punktos var redzēt, ka rinda paredz lielāku/mazāku vērtību nekā patiesā vērtība.

Pastāv vairākas definīcijas, viena no tām ir šāda rinda:$$s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}+b_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$Ja funkcijas periods ir $2L$ un atbilst $2\pi$, tad izteiksme kļūst par

$$s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos {\left(nx\right)}+b_{n}\sin {\left(nx\right)}$$ kur koeficientus $a_{n}$ un $b_{n}$ var aprēķināt pēc formulām:$$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot cos(nx)$$$$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot sin(nx)$$Atkarībā no patvaļīgas funkcijas perioda garuma $2L$, ja tas atšķiras no $2\pi$, tad koeficients priekšā integrālim, integrāļa robežas un trigonometrisko funkciju argumenti mainās. Jo vairāk summas locekļu tiek ņemti, jo precīzāks būs rezultāts.

Vēl Furjē rindu iespējams definēt ar kompleksu eksponentfunkciju summu. $$s_{\infty }(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}e^{2\pi inx/2L}$$ Koeficienti $C_{n}$ ir kompleksi skaitļi un tos nosaka ar integrāli:$$C_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{0}^{2L}e^{-2\pi inx/2L}s(x)\,dx.$$

Piemērs

Grafiks $s(x)=x/\pi$, kura perioda intervāls ir $(-\pi ,\pi ]$. Tā kā tā periods ir $2\pi$, tad izpildās nosacījums $s(x+2\pi )=s(x)$

Šīs funkcijas pirmo piecu Furjē rindas locekļu summa

Dota funkcija:

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {kad} -\pi <x<\pi ,$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {kad} -\pi <x<\pi {\text{ un }}k\in \mathbb {Z} .$

Furjē rindas koeficientus var aprēķināt pēc formulām:

${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

$A_{n}$ koeficienti ir nulle, jo ${\frac {x}{\pi }}\cdot cos(nx)$ ir nepāra funkcija, tādēļ simetrisks integrālis ap punktu 0 dod integrāļa vērtību nulle.

Pierakstot pašu Furjē rindu, iegūst:

$s_{\infty }(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx)\right)={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx)$

Šī rinda tiecas uz oriģinālo funkciju visos punktos, izņemot pašos perioda galos.

Trigonometriskās formulas izvedums

Animācija ar triganometrisko funkciju reizinājumu rezultātiem, interpetējot integrāli kā laukumu zem funkcijas.

Koeficienta $a_{0}$ iegūšana

Pieņemsim, ka periodisku funkciju $f(x)$ ar periodu $2L$ var uzrakstīt kā rindu: $s(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right)$, kur $a_{0},a_{n},b_{n}(n=1,2,3,...)$ ir konstantes. Koeficientu $a_{0}$ var iegūt, integrējot abas puses: $\int _{-L}^{L}s(x)dx={\frac {a_{0}}{2}}\cdot 2L+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx+b_{n}\int _{-L}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx\right)$, kur $\int _{-L}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx=0$, jo funkcija $\sin \left(x\right)$ ir nepāra. Savukārt funkcija $\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx={\frac {L}{n\pi }}\left(\sin \left(n\pi \right)-\sin \left(-n\pi \right)\right)$, kas ir vienāds ar nulli, jo pie $n=1,2,3,...$ sinusa funkcija $\sin(\pi ),\sin(-\pi ),\sin(2\pi ),\sin(-2\pi )...,\sin(n\pi ),\sin(-n\pi )=0$. Līdz ar to $${\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}s(x)dx=a_{0}$$

Koeficienta $a_{n}$ iegūšana

Izmantojam līdzīgu paņēmienu kā $a_{0}$ koeficienta iegūšanā, bet pirms integrēšanas pareizinām abas puses ar funkciju $\cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)$, kur $m$ tāpat kā $n$ ir naturāls skaitlis, tad iegūstam izteiksmi: $\int _{-L}^{L}s(x)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx+b_{n}\int _{-L}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx\right)$

Tad atsevišķi var apskatīt integrāļus:

$\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx=L,\ {\text{kad}}\ n=m,\ {\text{citādi}}=0$

$\int _{-L}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx=0$

$\int _{-L}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cdot \sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx=L\ {\text{kad}}\ n=m,\ {\text{citādi}}=0$

Izmantojot trigonometriskās sakarības $\cos(\alpha )\cos(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta ))$ un $\sin(\alpha )\sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$

iespējams aizvietot šos reizinājumus ar summām. Sinusa un kosinusa reizinājums veido nepāra funkciju, tādēļ tās simetrisks integrālis ir nulle. Divu sinusu un kosinusu reizinājumam ir līdzīga argumentācija, kas aptuveni ir:${\frac {1}{2}}\int _{-L}^{L}\left(\cos \left({\frac {\pi x}{L}}(n-m)\right)+\cos \left({\frac {\pi x}{L}}(n+m)\right)\right)dx={\frac {L}{2\pi (n-m)}}\left(\sin \left(\pi (n-m)\right)-\sin \left(-\pi (n-m)\right)\right)+{\frac {L}{2\pi (n+m)}}\left(\sin \left(\pi (n+m)\right)-\sin \left(-\pi (n+m)\right)\right)$, izmantojot iepriekšējo argumentāciju, ka $\sin(\pi ),\sin(-\pi ),\sin(2\pi ),\sin(-2\pi )...,\sin(n\pi ),\sin(-n\pi )=0$, tad vienīgais nenulles rezultāts nāk, kad $n=m$, tad $\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx=L$.

Apvienojot šo ar iepriekšējo rezultātu, ka $\int _{-L}^{L}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx=0$ no oriģinālās rindas iegūst:

$\int _{-L}^{L}s(x)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx={\frac {a_{0}}{2}}\cdot 0+a_{m}\cdot L\sum _{n=1,\ n\neq m}^{\infty }\left(a_{n}\cdot 0+b_{n}\cdot 0\right)$, jeb ${\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}s(x)\cdot \cos \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx=a_{m}$, samainot indeksus $m$ un $n$ vietām iegūst ${\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}s(x)\cdot \cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx=a_{n}$, Q.E.D. Šādi var iegūt arī formulu koeficientam $b_{n}$, ja pirms integrēšanas abas puses pareizina ar $\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)$.