Q.E.D.

Q.E.D. ir saīsinājums no latīņu frāzes "quod erat demonstrandum" (burtiski "kas bija jāpierāda"). Šo frāzi saīsinātajā formā raksta matemātiska pierādījuma vai filozofiska pamatojuma beigās, lai norādītu, ka pēdējais apgalvojums ir noslēdzis pierādījumu.

Izcelsme un pirmie lietojumi

Frāze ir tulkojums no sākotnējās grieķu frāzes ὅπερ ἔδει δει̂ξαι (hoper edei deixai), ko izmantoja vairāki senie matemātiķi, ieskaitot Eiklīdu un Arhimēdu. Šie matemātiķi, īpaši Eiklīds, tiek uzskatīti par aksiomātiskās matemātikas pamatlicējiem, ar uzsvaru uz loģiskās dedukcijas pamatu izveidi pieņēmumu vai eksperimentu vietā. Šīs frāzes izmantošana simbolizē šo uzsvaru, kā arī atzīmē šo svarīgo soli matemātikas filozofijas izveidē.

Modernā filozofija

Iespējams, slavenākais šis frāzes pielietojums filozofiskā argumentācijā ir atrodams Baruha Spinozas grāmatā Ētika, publicēta pēc viņa nāves 1677. gadā. Tā ir sarakstīta latīniski un tiek uzskatīta par viņa magnum opus.

Grāmatas sistēma ir, kā saka Spinoza, "demonstrēta ģeometriskā formā" ar aksiomām un definīcijām, kam seko pierādījumi. Tas ir ievērojams uzlabojums Renē Dekarta rakstīšanas stilam Meditācijās, kas izmanto dienasgrāmatas formātu.

Šodienas pielietojumi

Šodien šī frāze ir kļuvusi par simbolu neapgāžamai loģikai, tāpēc "Q.E.D." reizēm tiek izmantots ar matemātiku nesaistītā kontekstā. Retāk tiek izmantots arī šīs frāzes latviskais tulkojums — K.B.J. ("kas bija jāpierāda").

Elektroniskā forma

Šodien pierādījumiem bieži vien izmato datoru palīdzību (skatīt LaTeX) un tiek pielietotas pieejamas vairākas simboliskas alternatīvas. Populārākais simbols ir ■ (melns pildīts kvadrāts), saukts arī par kapakmeni vai Halmosa simbolu (par godu Paulam Halmosam, kurš pirmais to pielietoja). Kapakmens reizēm ir tukšs: □ (tukšs melns kvadrāts). Unicode speciāli paredzēts "pierādijuma beigu simbols" U+220E (∎), bet ir arī atrodami ▮ (U+25AE, melns vertikāls taisnstūris) un ‣ (U+2023, trijstūrveida bultiņa) kā alternatīvas. Daži autori pielieto šīs notācijas variantus ar citiem simboliem, piemēram, divām slīpsvītrām (//) vai vienkārši papildus atstarpei.

Ārējās saites

• Senākie zināmie matemātikas frāžu pielietojumi (Q)
• Robina Hārtšorna piezīmes par Q.E.D. Arhivēts 2008. gada 3. janvārī, Wayback Machine vietnē.