Rīmaņa integrālis

Rīmaņa integrālis ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Bernhards Rīmanis ieviesa šo jēdzienu 1854. gadā, un tā ir viena no pirmajām integrāļa jēdziena formalizācijām.

Rīmaņa integrāļa ģeometriskā jēga

Neformāls ģeometriskais aprakstsLabot

 
Rīmaņa summa (kopējais taisnstūru laukums) robežā, samazinot dalījumu, norāda laukums zem grafika.

Rīmanis formalizēja Ņūtona un Leibnica izstrādāto integrāļa jēdzienu, kā laukumu zem fukcijas grafika (figūra, kas ierobežota ar grafika līkni no vienas puses un ar abscisu asi no otras puses).

Lai to izdarītu, viņš izpētīja figūras, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kuru pamati kopā veido integrācijas intervālu un tiek iegūti, sadalot intervālu (sk. zīmējumu) vairākās daļās.

Šādas figūras, kas sadalīta apakšintervālos ar platumu   (ne obligāti vienādu visiem taisnstūriem), kuru augstums ir  , laukums S ir izsakāms kā integrālsumma:

 

Ja eksistē robeža, uz kuru tiecas laukums S (integrālsumma) jebkuram izvēlētam sadalījumam (kad lielākais no   tiecas uz nulli), tad šo robežu sauc par Rīmaņa integrāli šajā intervālā.

DefinīcijasLabot

Ar integrālsummāmLabot

Pieņem, ka funkcija  , kas pieņem reālas vērtībās, tiek definēta slēgtā intervālā  .

Aplūko intervāla sadalījumu   — galīgs punktu skaits dotajā intervālā. Šis sadalījums sadala intervālu   n apakšintervālos  . Garāko no sadalījuma apakšintervāliem apzīmē ar  , šo skaitli sauc par sadalījuma normu, kur  i-tā apakšintervāla garums.

Katrā sadalījuma apakšintervālā brīvi izvēlas punktu  . Izteiksmi   sauc par intergālsummu.

Ja sadalījuma norma tiecas uz nulli un integrālsumma tiecas uz to pašu skaitli neatkarīgi no   izvēles, tad šo skaitli sauc par funkcijas   integrāli intervālā  , tas ir,   .

Šajā gadījumā saka, ka funkcija   ir integrējama (pēc Rīmaņa) intervālā  ; pretējā gadījumā funkcija   ir neintegrējama (pēc Rīmaņa) intervālā   .

ĪpašībasLabot

  1. Nedeģenerācija:   .
  2. Pozitivitāte: ja integrējama funkcija   ir nenegatīva, tad tās integrālis intervālā   arī ir nenegatīvs.
  3. Linearitāte: ja funkcijas   un   integrējamas un   tad funkcija   arī ir integrējama, un   .
  4. Nepārtrauktība: ja integrējamas funkcijas   vienmērīgi saplūst intervālā   funkcijā  , tad   integrējama un   (šo formulu var iegūt kā formālas sekas no īpašībām 1-3 un robežfunkcijas integrējamības).
  5. Aditivitāte, sadalot intervālu: Ja  , funkcija   ir integrējama intervālā   tad un tikai tad, ja tā ir integrējama katrā no intervāliem   un  , un līdz ar to  .
  6. Ja funkcija   ir primitīvā funkcija nepārtrauktai funkcijai  , tad funkcijas   integrāli intervālā   var aprēķināt pēc Ņūtona-Leibnica formulas: n  (tā ir visu integrāļu vispārīga īpašība, kas atbilst 1.—5. īpašībai, un darbojas ne tikai Rīmaņa integrālim). Kādā intervālā nepārtrauktai funkcijai   vienmēr eksistē primitīvā funkcija, un katrai primitīvajai funkcijai ir šāda forma:   kur   ir patvaļīga konstante .

Nosacījumi Rīmaņa integrāla pastāvēšanaiLabot

Kādā intervālā nepārtraukta funkcija vienmēr ir integrējama pēc Rīmaņa (1.—5. īpašības sekas). Pārtrauktas funkcijas var būt integrējamas, bet var arī nebūt. Piemērs funkcijai, kas nav integrējama pēc Rīmaņa, var būt pārtrauktā Dirihlē funkcija.

Lebega kritērijs funkcijas integrēšanai pēc RīmaņaLabot

Funkcija ir integrējama pēc Rīmaņa intervālā  , tad un tikai tad, ja šajā intervālā tā ir ierobežota un tās pārtraukuma punktu Lebega mērs ir nulle — ierobežota funkcija ar galīgu vai sanumurējamu pārtraukuma punktu kopu ir integrējama.

Cits kritērijsLabot

Lai funkcija   būtu integrējama intervālā , ir nepieciešams un pietiek ar to, ka summa   tiecas uz nulli ar sadalījuma diametru   .

svārstības   funkcijas   kopā   - ir starpība   ,
sadalījuma diametrs   [1] .

Dažas funkciju klases integrējamas pēc RīmaņaLabot

Zemāk ir minētas dažas funkciju klases, kurām vienmēr pastāv Rīmaņa integrāļa vērtība [2] .

VēstureLabot

Iepriekš minēto integrāla definīciju deva Košī [3], tā tika izmantota tikai nepārtrauktām funkcijām.

Rīmanis 1854. gadā (publicēts 1868. gadā :101-103) sniedza tādu pašu definīciju neņemot vērā nepārtrauktību. Darbū (1879) sniedza mūsdienīgu Rīmaņā teorijas izklāstu.

Skatīt arīLabot

AtsaucesLabot

  1. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
  2. Фихтенгольц, 1966
  3. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831

Ārējās saitesLabot