Rīmaņa integrālis
Šis raksts ir jāuzlabo nozares ekspertam. Iemesls: Daudzas neprecizitātes un citas kļūdas, kas radušās brutāli tulkojot no krievu Vikipēdijas Lūdzu, palīdzi uzlabot šo rakstu. Ja ir kādi ieteikumi, vari tos pievienot diskusijā. Vairāk lasi lietošanas pamācībā. |
Rīmaņa integrālis ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Bernhards Rīmanis ieviesa šo jēdzienu 1854. gadā, un tā ir viena no pirmajām integrāļa jēdziena formalizācijām.
Neformāls ģeometriskais aprakstsLabot
Rīmanis formalizēja Ņūtona un Leibnica izstrādāto integrāļa jēdzienu, kā laukumu zem fukcijas grafika (figūra, kas ierobežota ar grafika līkni no vienas puses un ar abscisu asi no otras puses).
Lai to izdarītu, viņš izpētīja figūras, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kuru pamati kopā veido integrācijas intervālu un tiek iegūti, sadalot intervālu (sk. zīmējumu) vairākās daļās.
Šādas figūras, kas sadalīta apakšintervālos ar platumu (ne obligāti vienādu visiem taisnstūriem), kuru augstums ir , laukums S ir izsakāms kā integrālsumma:
Ja eksistē robeža, uz kuru tiecas laukums S (integrālsumma) jebkuram izvēlētam sadalījumam (kad lielākais no tiecas uz nulli), tad šo robežu sauc par Rīmaņa integrāli šajā intervālā.
DefinīcijasLabot
Ar integrālsummāmLabot
Pieņem, ka funkcija , kas pieņem reālas vērtībās, tiek definēta slēgtā intervālā .
Aplūko intervāla sadalījumu — galīgs punktu skaits dotajā intervālā. Šis sadalījums sadala intervālu n apakšintervālos . Garāko no sadalījuma apakšintervāliem apzīmē ar , šo skaitli sauc par sadalījuma normu, kur — i-tā apakšintervāla garums.
Katrā sadalījuma apakšintervālā brīvi izvēlas punktu . Izteiksmi sauc par intergālsummu.
Ja sadalījuma norma tiecas uz nulli un integrālsumma tiecas uz to pašu skaitli neatkarīgi no izvēles, tad šo skaitli sauc par funkcijas integrāli intervālā , tas ir, .
Šajā gadījumā saka, ka funkcija ir integrējama (pēc Rīmaņa) intervālā ; pretējā gadījumā funkcija ir neintegrējama (pēc Rīmaņa) intervālā .
ĪpašībasLabot
- Nedeģenerācija: .
- Pozitivitāte: ja integrējama funkcija ir nenegatīva, tad tās integrālis intervālā arī ir nenegatīvs.
- Linearitāte: ja funkcijas un integrējamas un tad funkcija arī ir integrējama, un .
- Nepārtrauktība: ja integrējamas funkcijas vienmērīgi saplūst intervālā funkcijā , tad integrējama un (šo formulu var iegūt kā formālas sekas no īpašībām 1-3 un robežfunkcijas integrējamības).
- Aditivitāte, sadalot intervālu: Ja , funkcija ir integrējama intervālā tad un tikai tad, ja tā ir integrējama katrā no intervāliem un , un līdz ar to .
- Ja funkcija ir primitīvā funkcija nepārtrauktai funkcijai , tad funkcijas integrāli intervālā var aprēķināt pēc Ņūtona-Leibnica formulas: n (tā ir visu integrāļu vispārīga īpašība, kas atbilst 1.—5. īpašībai, un darbojas ne tikai Rīmaņa integrālim). Kādā intervālā nepārtrauktai funkcijai vienmēr eksistē primitīvā funkcija, un katrai primitīvajai funkcijai ir šāda forma: kur ir patvaļīga konstante .
Nosacījumi Rīmaņa integrāla pastāvēšanaiLabot
Kādā intervālā nepārtraukta funkcija vienmēr ir integrējama pēc Rīmaņa (1.—5. īpašības sekas). Pārtrauktas funkcijas var būt integrējamas, bet var arī nebūt. Piemērs funkcijai, kas nav integrējama pēc Rīmaņa, var būt pārtrauktā Dirihlē funkcija.
Lebega kritērijs funkcijas integrēšanai pēc RīmaņaLabot
Funkcija ir integrējama pēc Rīmaņa intervālā , tad un tikai tad, ja šajā intervālā tā ir ierobežota un tās pārtraukuma punktu Lebega mērs ir nulle — ierobežota funkcija ar galīgu vai sanumurējamu pārtraukuma punktu kopu ir integrējama.
Cits kritērijsLabot
Lai funkcija būtu integrējama intervālā , ir nepieciešams un pietiek ar to, ka summa tiecas uz nulli ar sadalījuma diametru .
- svārstības funkcijas kopā - ir starpība ,
- sadalījuma diametrs [1] .
Dažas funkciju klases integrējamas pēc RīmaņaLabot
Zemāk ir minētas dažas funkciju klases, kurām vienmēr pastāv Rīmaņa integrāļa vērtība [2] .
- Nepārtrauktas funkcijas intervālā
- Funkcijas, kas ierobežotas intervālā un tām šajā intervālā ir ierobežots skaits pārtraukumu punktu.
- Monotonas ierobežotas funkcijas.
VēstureLabot
Iepriekš minēto integrāla definīciju deva Košī [3], tā tika izmantota tikai nepārtrauktām funkcijām.
Rīmanis 1854. gadā (publicēts 1868. gadā :101-103) sniedza tādu pašu definīciju neņemot vērā nepārtrauktību. Darbū (1879) sniedza mūsdienīgu Rīmaņā teorijas izklāstu.
Skatīt arīLabot
AtsaucesLabot
- ↑ Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
- ↑ Фихтенгольц, 1966
- ↑ Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
Ārējās saitesLabot
- Nenoteiktu un definētu integrāļu tabulas - EqWorld: Matemātisko vienādojumu pasaule.
- Rīmaņa integrāļa stingra definīcija.