Diagonāle

Ģeometrijā diagonāle ir nogrieznis, kas savieno divas daudzstūra vai daudzskaldņa virsotnes, kad attiecīgās virsotnes neatrodas uz vienas un tās pašas šķautnes. Neformāli aprakstot, jebkura slīpa līnija tiek saukta par diagonāli. Vārds “diagonāle” cēlies no seno grieķu valodas διαγώνιος, diagonios, kas tiešā tulkojumā nozīmē “no leņķa līdz leņķim”, to izmantoja gan Strabons, gan Eiklīds aprakstot līniju, kas savieno divas rombu vai kubu virsotnes, un vēlāk šis termins adoptējās latīņu valodā kā diagonus (“slīpa līnija”).

Kuba diagonāles

Matricu algebrā kvadrātiskas matricas diagonāle ir elementi, kas izvietoti no viena stūra uz tālāko stūri.

Ir vēl arī citi, ne-matemātiskie lietojumi.

Citi lietojumi

Standarta sastatnes ar diagonālo balstu stiprinājumiem

Inženierzinātnē, diagonālie balsti ir stiprinājumi, kurus izmanto taisnstūrveida struktūras (piemēram, sastatnes) stiprināšanai, lai tā izturētu lielākas slodzes, vai spēkus, kas uz tās darbojas. Lai arī tie tiek dēvēti par diagonālajiem balstiem, praktisku apsvērumu dēļ, tie netiek stiprināti starp taisnstūra pretējiem stūriem.

Asociētajā futbolā, diagonālā sistēmas kontrole (no angļu valodas “diagonal system of control”) ir metode, kurā tiesneši un tiesnešu asistenti izvieto sevi nepieciešamajā pozīcijā vienā no četriem laukuma kvadrantiem.

Diagonālais garums ir plaši pazīstama mērvienība displeju izmēriem

Daudzstūris

Daudzstūros diagonāle ir nogrieznis, kas savieno divas ne secīgas virsotnes. Tādēļ četrstūriem ir divas diagonāles, kas savieno pretējos stūrus. Jebkuram izliektam daudzstūrim, visas diagonāles atrodas daudzstūra iekšpusē, bet ieliektiem daudzstūriem, daļa no diagonālēm atrodas ārpus daudzstūra.

Jebkuram n-stūra daudzstūrim (n ≥ 3), ieliektam vai izliektam, ir ${\frac {n*(n-3)}{2}}$diagonāles, jo katrai virsotnei ir diagonāles ar visām pārējām virsotnēm, izņemot sevi pašu un divām blakus esošajām virsotnēm.

Stūri	Diagonāles	Stūri	Diagonāles	Stūri	Diagonāles	Stūri	Diagonāles	Stūri	Diagonāles
3	0	11	44	19	152	27	324	35	560
4	2	12	54	20	170	28	350	36	594
5	5	13	65	21	189	29	377	37	629
6	9	14	77	22	209	30	405	38	665
7	14	15	90	23	230	31	434	39	702
8	20	16	104	24	252	32	464	40	740
9	27	17	119	25	275	33	495	41	779
10	35	18	135	26	299	34	527	42	819

Laukumi

Izliektā daudzstūrī, ja trīs diagonāles vienlaikus nekrustojas vienā un tajā pašā punktā, laukumu skaits, ko sadala diagonāles var aprēķināt pēc formulas:

${\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}$

Daudzstūriem, kur n=3,4,... laukumu skaits ir 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246…

Diagonāļu krustpunkti

Ja izliektā daudzstūra iekšējā punktā vienlaicīgi nekrustojas trīs diagonāles, tad diagonāļu krustpunktu skaitu norāda ${\binom {n}{4}}$.Tas izpildās, piemēram, jebkuram regulāram daudzstūrim ar nepāra skaita malām. Formula izriet no fakta, ka katru krustpunktu nosaka divu krustojošo diagonāļu četri galapunkti: tādējādi krustojumu skaits ir vienlaicīgi četru n virsotņu kombināciju skaits.

Regulāri daudzstūri

Trijstūrim nav diagonāļu.

Kvadrātam ir divas diagonāles ar vienādu garumu, kuras krustojas kvadrāta centrā. Diagonāles un malu attiecība ir $\surd 2\approx 1.414$

Regulāram piecstūrim ir piecas diagonāles, katra vienāda garuma, kuras krustojas laukuma centrā. Diagonāles un malu attiecība ir zelta griezums ${\frac {1+\surd 5}{2}}\approx 1.618$

Regulāram sešstūrim ir deviņas diagonāles: sešas īsākās ir vienāda garuma, trīs garākās savstarpēji ir vienāda garuma un krustojas sešstūra centrā. Garākās diagonāles un sešstūra malu attiecība ir 2.

Regulāram septiņstūrim ir 14 diagonāles. Septiņas īsākās diagonāles ir vienāda garuma un septiņas garākās diagonāles arī ir vienāda garuma.

Jebkurā regulārā daudzstūrī, kuram ir pāra skaita malas garumi, garākās diagonāles krustojas daudzstūra centrā.

Daudzskaldnis

Daudzskaldnim var būt divu veidu diagonāles: diagonāles uz dažādām skaldnēm, kas savieno virsotnes, kuras nav blakus; un daudzskaldņa diagonāles, kas savieno divas daudzskaldņa virsotnes, kuras nepieder vienai skaldnei.

Tā pat kā trijstūrim nav diagonāles, tā arī tetraedram nav nevienas diagonāles.

Kubam ir divas diagonāles uz katras no sešām skaldnēm un četras telpas diagonāles.

Matricas

Kvadrātiskā matricā, galvenās diagonāles elementi ir izvietoti pa diagonāli no augšējā kreisā stūra līdz apakšējam labajam stūrim.Matricai $A$ ar rindas indeksu $i$ un kolonnas indeksu $j$, tie būtu elementi $A_{i,j}$_, kur $i=j$. Piemēram, vienības matricai visi galvenās diagonāles elementi ir 1 un pārējie ir 0.

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Matricas diagonāli, kur elementi izvietoti no labā augšējā stūra uz kreiso apakšējo stūri sauc par blakusdiagonāli.

Diagonālmatricas visi elementi, kuri nav uz galveno diagonāli ir 0.

No angļu valodas "superdiagonal" elementi ir tie, kas atrodas tieši virs un pa labi no galvenās diagonāles. Tā kā galvenās diagonāles elementi ir $A_{i,j}$, kur $i=j$, tad "superdiagonal" elementi ir $j=i+1$

Piemērs:

Dotajā piemērā "superdiagonal" elementi ir visi nenulles elementi:

${\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}$

Tāpat arī no angļu valodas "subdiagonal" elementi ir tie, kas atrodas tieši zem un pa kreisi no galvenās diagonāles, t.i., $A_{i,j}$, kur $j=i-1$.

Matricas vispārīgajā gadījumā diagonāles var būt noteiktas ar indeksu $k$ attiecībā pret galveno diagonāli: galvenajai diagonālei $k=0$; "superdiagonal" $k=1$; "subdiagonal" $k=-1$, un vispārīgajā gadījumā $k$ — diagonāle sastāv no elementiem $A_{i,j}$, kur $j=i+k$.

Ārējās saites

• Daudzstūra diagonāles
• Daudzstūra diagonāles
• Diagonāles