Vesels skaitlis

Vesels skaitlis ir skaitlis, kas var būt naturāls skaitlis, naturālo skaitļu pretējais skaitlis vai nulle. Šie skaitļi veido veselo skaitļu kopu. Veselo skaitļu piemēri ir 0, 1, -1, 2, −2, 3, -3 un tā tālāk, savukārt 9,75, 5 12 un ${\sqrt {2}}$ nav veseli skaitļi. Veselo skaitļu ir bezgalīgi daudz, neeksistē lielākais un mazākais veselais skaitlis. Veselo skaitļu kopu apzīmē ar $\mathbb {Z}$ (vācu: Zahlen — ‘skaitlis’). Veselo skaitļu kopā ietilpst naturālo skaitļu kopa ($\mathbb {N}$), savukārt veselie skaitļi ir racionālo skaitļu ($\mathbb {Q}$) un reālo skaitļu kopu ($\mathbb {R}$) apakškopa.

Veselo skaitļu kopu apzīmē ar $\mathbb {Z}$

Pozitīvie un negatīvie skaitļi

Skaitļu ass, kur pa kreisi negatīvie atzīmēti daži veselie skaitļi, vidū — nulle, bet pa labi — pozitīvie veselie skaitļi

Katram naturālam skaitlim ir pretējs negatīvs skaitlis

Saskaņā ar definīciju, veselo skaitļu sistēmu veido trīs daļas:

1. naturālie skaitļi (skaitļi, kas rodas skaitīšanas rezultātā, tas ir, 1, 2, 3, 4, 5 un tā tālāk),
2. nulle,
3. negatīvi naturālie skaitļi (-1, -2, -3, -4, -5 un tālāk).

Negatīvajiem skaitļiem priekšā ir mīnusa zīme. Katram naturālajam skaitlim $n$ ir pretējs negatīvs skaitlis $-n$, un tos saskaitot, vienmēr rezultāts ir nulle: $n+(-n)=0$. Nullei pretējais skaitlis ir nulle. Absolūtā vērtība (modulis) no jebkura vesela skaitļa, izņemot nulli, vienmēr ir naturāls skaitlis, piemēram, $\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5\$.

Algebriskās īpašības

Veselajiem skaitļiem pamatā ir trīs algebriskās darbības: saskaitīšana, atņemšana un reizināšana. Jebkuru divu veselu skaitļu summa, starpība un reizinājums ir vesels skaitlis. Svarīga ir arī dalīšana, bet ne vienmēr rezultātā ir vesels skaitlis. Var būt gadījumi, kad dalījums ir ar atlikumu, vai arī rezultātu izsaka kā racionālu skaitli.

Saskaitīšana un atņemšana

Īpašība	Algebriskais pieraksts
Komutativitāte	$a+b=b+a$
Asociativitāte	$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$
Saskaitīšana ar nulli	$a+0=a$
Saskaitīšana ar pretējo skaitli	$a+\left(-a\right)=0$

Reizināšana

Īpašība	Algebriskais pieraksts
Komutativitāte	$a\times b=b\times a$
Asociativitāte	$a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c$
Reizināšana ar viens	$a\times 1=a$
Reizināšana ar nulli	$a\times 0=0$
Distributivitāte	$a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Citas īpašības

• Visu veselo skaitļu kopa ir sanumurējama.
• Veselie skaitļi ir salīdzināmi.

Veselie skaitļi skaitļu kopās

Skaitļu kopu hierarhija:
$\mathbb {N}$ — naturālie skaitļi
$\mathbb {Z}$ — veselie skaitļi
$\mathbb {Q}$ — racionālie skaitļi
$\mathbb {R}$ — reālie skaitļi
$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ — iracionālie skaitļi

Veselo skaitļu kopā ietilpst naturālo skaitļu kopa ($\mathbb {N}$), savukārt veselie skaitļi ir racionālo skaitļu ($\mathbb {Q}$) un reālo skaitļu kopu ($\mathbb {R}$) apakškopa.

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: veselie skaitļi.

• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)