Iracionāls skaitlis
Matemātikā iracionāls skaitlis ir jebkurš reāls skaitlis, kas nav racionāls (to nevar izteikt formā m/n, kur m ir vesels skaitlis, bet n — naturāls skaitlis). Iracionāli skaitļi ir, piemēram, √2, 3 − √5/2, π, e, ln(2) un 0,12345678910111213…, kur pēdējais skaitlis ir iegūts aiz komata pēc kārtas pierakstot visus naturālos skaitļus decimālajā pierakstā. Ja iracionālu skaitli pieraksta decimālajā skaitīšanas sistēmā, tad iegūst bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli.
Visu iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar un tā ir racionālo skaitļu kopas papildinājums reālo skaitļu kopā :
Tā kā ir nesanumurējama kopa, bet ir sanumurējama, tad iracionālo skaitļu kopa ir nesanumurējama. Tas nozīmē, ka kopas kardinalitāte ir lielāka par kopas kardinalitāti (intuitīvi tas nozīmē, ka iracionālo skaitļu ir vairāk nekā racionālo) un kopas mērs kopā ir nulle (intuitīvi tas nozīmē, ka gandrīz jebkurš reāls skaitlis ir iracionāls).
Iracionalitātes pierādīšana
labot šo sadaļuPirmie skaitļi, par kuriem tika pierādīts, ka tie ir iracionāli, ir √2 un zelta griezums φ.
Pieņemsim, ka √2 ir racionāls skaitlis jeb eksistē tādi veseli skaitļi m un n ≠ 0, ka √2 = m/n. Papildus varam pieņemt, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra — pretējā gadījumā abus skaitļus var izdalīt ar 2. Ja abas vienādojuma √2 = m/n puses pareizina ar n un ceļ kvadrātā, tad iegūst 2n2 = m2. No šīs sakarības izriet, ka m ir jābūt pāra skaitlim, teiksim, m = 2p, kur p ir vesels skaitlis. Tātad 2n2 = 4p2 jeb n2 = 2p2. Tas nozīmē, ka n arī ir jābūt pāra skaitlim. Tā ir pretruna, jo mēs pieņēmām, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra. □
Īpašības
labot šo sadaļu- Ja iracionālam skaitlim pieskaita vai atņem racionālu skaitli, tad joprojām iegūst iracionālu skaitli. Līdzīgi, ja iracionālu skaitli reizina vai dala ar racionālu skaitli (kas nav 0), tad arī iegūst iracionālu skaitli.
- Divu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis. Piemēram, √3 + (1 − √3) = 1.
- Eksistē divi iracionāli skaitļi, kuru summa un reizinājums ir racionāli skaitļi. Piemēram, 2 + √3 un 2 − √3.
Neatrisinātas problēmas
labot šo sadaļuPar nevienu no šiem skaitļiem joprojām nav zināms, vai tas ir racionāls vai iracionāls:
- π + e un π − e (vispārīgā gadījumā: mπ + ne, kur m un n ir veseli skaitļi, kas atšķiras no nulles),
- 2e, πe un π√2,
- Katalāna konstante G = 0,91596559…,
- Eilera konstante γ = 0,57721566….
Skatīt arī
labot šo sadaļuAtsauces
labot šo sadaļu- Hardy, G. H.; Wright, E. M.; Heath-Brown, D. R.; Silverman, Joseph H. (2008), An Introduction to the Theory of Numbers (sixth izd.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, 45. lpp.
- Niven, Ivan (2005), Irrational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88-385038-1.
Ārējās saites
labot šo sadaļu- Eric W. Weisstein, Irrational Number, MathWorld.