Pierādījums no pretējā

Pierādījums no pretējā jeb netiešais pierādījums ir pierādīšanas tehnika matemātikā un loģikā, kas pierāda kādu apgalvojumu, pieņemot to, ka tas ir nepatiess, un tādējādi nonākot pie pretrunas.

Pierādījums no pretējā darbojas, jo ir spēkā izslēgtā trešā likums — katram apgalvojumam A ir spēkā vai nu pats apgalvojums, vai nu tam pretējais — "nav spēkā, ka A". Līdz ar to, ja ir iespējams pierādīt, ka apgalvojums "nav spēkā, ka A" ir nepatiess, no izslēgtā trešā likuma izriet, ka apgalvojums A ir spēkā. Šo likumu, kā arī pašu pierādījuma principu pirmo reizi formulēja Aristotelis.

Pierādījums no pretēja tiek plaši izmantots daudzu dažādu apgalvojumu un teorēmu pierādīšanā. Godfrijs Hārdijs ir teicis, ka "pierādījums no pretējā ir viens no matemātiķa smalkākajiem ieročiem".

Līdzīga pierādīšanas metode, kur arī izmanto pretrunu, ir pierādījums ar bezgalīgā kritiena metodi.

Piemērs

Šajā piemērā, izmantojot pierādījumu no pretējā, tiks pierādīts, ka kvadrātsakne no 2 (${\sqrt {2}}$) ir iracionāls skaitlis.

Pieņemam pretējo — ${\sqrt {2}}$ ir racionāls skaitlis. Tātad, to var izteikt formā ${\frac {a}{b}}$, kur a ir vesels skaitlis, bet b — naturāls skaitlis — ${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$. Vismaz viens no skaitļiem a vai b ir nepāra (jo pretējā gadījumā iegūto daļu var "saīsināt" — izdalīt katru no tiem ar to lielāko kopīgo dalītāju un atkārtot spriedumu).

No tā, ka ${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$, pareizinot abas puses ar b (kas nevar būt 0, jo ir naturāls skaitlis) un kāpinot abas puses kvadrātā, var iegūt, ka $a^{2}=2b^{2}$.

Iegūtā vienādojuma kreisā puse ir pāra skaitlis, tātad arī $a^{2}$ ir pāra skaitlis. Tā kā nepāra skaitļa kvadrāts ir nepāra skaitlis, var secināt, ka a ir pāra skaitlis. Ja a ir pāra skaitlis, tad $a^{2}$ dalās ar 4. Līdz ar to arī $2b^{2}$ dalās ar 4, un $b^{2}$ ir pāra skaitlis. No šī var secināt, ka arī b ir pāra skaitlis. Esam ieguvuši, ka gan a, gan b ir pāra skaitļi, kas ir pretrunā ar to, ka iepriekš tika secināts, ka vismaz viens no šiem skaitļiem ir nepāra. Iegūta pretruna, tātad pieņēmums ir aplams — ${\sqrt {2}}$ nav racionāls skaitlis. Tātad var secināt, ka ${\sqrt {2}}$ ir iracionāls skaitlis, kas arī bija jāpierāda.