Bezgalīgā kritiena metode

Bezgalīgā kritiena metode ir pierādīšanas tehnika matemātikā, pierādījuma no pretējā variants. Šo metodi izmanto, lai pierādītu, ka kāds apgalvojums ir aplams visiem skaitļiem, pierādot, ka, ja šis apgalvojums būtu spēkā kādam skaitlim, tas būtu spēkā mazākam skaitlim. Tas noved pie bezgalīga kritiena un gala rezultātā pie pretrunas.

Tipiski šo metodi izmanto, lai pierādītu apgalvojumus, kas attiecas uz naturāliem skaitļiem, piemēram, ka kādam vienādojumam nav naturālu atrisinājumu. To var pierādīt, pieņemot, ka šim vienādojumam eksistē naturāls atrisinājums un sekojoši secinot, ka tam eksistē otrs mazāks naturāls atrisinājums. Pēc matemātiskās indukcijas principa var secināt, ka tam eksistē trešais vēl mazāks atrisinājums, ceturtais atrisinājums utt. Šo procesu var turpināt bezgalīgi. Pretruna tiek iegūta tajā, ka neeksistē bezgalīga dilstoša naturālu skaitļu virkne, naturāli skaitļi nevar samazināties bezgalīgi, līdz ar to var secināt, ka vienādojumam nav naturālu atrisinājumu.

Līdzīgi var veikt pierādījumu, pieņemot, ka kādai problēmai eksistē mazākais atrisinājums un tādējādi secinot, ka tai eksistē vēl mazāks atrisinājums, kas noved pie pretrunas.

Pirmo zināmo bezgalīgā kritiena metodes pielietojumu var atrast Eiklīda Elementos. Vēlāk metodi attīstījis un popularizējis Pjērs Fermā, kurš to izmantojis Diofanta vienādojumiem.

Piemērs

Šajā piemērā, izmantojot bezgalīgā kritiena metodi, tiks pierādīts, ka kvadrātsakne no 2 (${\sqrt {2}}$) ir iracionāls skaitlis.

Pieņemsim pretējo — ${\sqrt {2}}$ ir racionāls skaitlis un to var izteikt formā ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$, kur p un q ir naturāli skaitļi. Kāpinot šo vienādojumu kvadrātā var iegūt, ka $2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$, reizinot to ar q² iegūst, ka $p^{2}=2q^{2}$. 2q² ir pāra skaitlis, līdz ar to arī p² un sekojoši p jābūt pāra skaitlim. Līdz ar to var secināt, ka p=2r, kur r ir naturāls skaitlis.

$p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$

$2q^{2}=p^{2}=4r^{2}$

$q^{2}=2r^{2}$

2r² ir pāra skaitlis, līdz ar to arī q² un sekojoši q jābūt pāra skaitlim. Līdz ar to var secināt, ka q=2s, kur s ir naturāls skaitlis.

Var secināt, ka ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}$. Līdz ar to var secināt, ka, ja ${\sqrt {2}}$ var izteikt kā racionālu daļu, to var izteikt arī kā racionālu daļu ar mazāku skaitītāju un saucēju. Šo secinājumu var atkārtot bezgalīgi. Iegūta preturna — tā kā gan skaitītājs, gan saucējs ir naturāli skaitļi, tos nav iespējams bezgalīgi samazināt. Līdz ar to ${\sqrt {2}}$ nevar izteikt kā racionālu daļu, līdz ar to tas nav racionāls skaitlis, no kā var secināt, ka ${\sqrt {2}}$ ir iracionāls skaitlis.