Atvērt galveno izvēlni

Nabla jeb Hamiltona operators ir diferenciāls operators, ko lieto vektoru analīzē. To var pierakstīt kā formālu vektoru:

kur apzīmē parciālo atvasinājumu pēc mainīgā x.

PielietojumsLabot

Operatoru nabla var izmantot, lai kompakti pierakstītu sarežģītas vektoru analīzes izteiksmes, kā arī atvieglotu darbības ar tām. Ar tā palīdzību var definēt citus svarīgus vektoru analīzes jēdzienus, piemēram, gradients, diverģence, rotors, atvasinājums norādītajā virzienā un Laplasa operators jeb Laplasiāns. Šos jēdzienus plaši izmanto matemātiskajā fizikā, hidrodinamikā[1] un kvantu mehānikā.

GradientsLabot

Skalāra lauka ƒ(x,y,z) gradientu var pierakstīt kā vektora   un skalārās funkcijas ƒ formālu reizinājumu:

 

DiverģenceLabot

Ja   ir vektoru lauks, kura komponentes apraksta skalāras funkcijas  ,   un  , tad šī lauka diverģenci var pierakstīt kā vektoru   un   formālu skalāro reizinājumu:

 

RotorsLabot

Vektoru lauka   rotoru var pierakstīt kā vektoru   un   formālu vektoriālo reizinājumu:

 

Atvasinājums norādītajā virzienāLabot

Skalāra lauka ƒ(x,y,z) atvasinājumu vektora   virzienā aprēķina pēc formulas[2]

 

Ar operatora nabla palīdzību šo izteiksmi var pierakstīt divos ļoti līdzīgos veidos:

 

Pirmajā gadījumā vispirms tiek aprēķināts vektoru   un   formāls skalārais reizinājums un tad ar iegūto operatoru iedarbojas uz funkciju ƒ, formāli sareizinot abus objektus kā skalārus lielumus. Otrajā gadījumā aprēķina vektora   formālu skalāro reizinājumu ar vektoru  .

LaplasiānsLabot

Laplasa operators ir skalārs operators, ko, līdzīgi operatoram nabla, var pielietot gan skalāriem, gan vektoru laukiem. To var definēt kā operatora nabla formālu skalāro reizinājumu pašam ar sevi:

 

Saīsināti šo sakarību mēdz pierakstīt arī šādi:

 

Atšķirības no parasta vektoraLabot

Lielākoties ar operatoru nabla var darboties kā ar parastu vektoru, taču dažos gadījumos ir jābūt uzmanīgam.[3] Piemēram, ja   ir vektoru lauks, tad tā skalārais reizinājums ar operatoru nabla nav komutatīvs:

 

jo pirmā izteiksme ir vienāda ar lauka   diverģenci, taču otra izteiksme ir vienāda ar operatoru

 

kas aprēķina lineāru kombināciju no atvasinājumiem.

Skatīt arīLabot

AtsaucesLabot

  1. Andrejs Cēbers, Teorētiskā hidrodinamika.
  2. Vitolds Gedroics, Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients Archived 2007. gada 10. decembrī, Wayback Machine vietnē., lekciju materiāli, Daugavpils Universitāte.
  3. Tai, Chen-To (1994), A survey of the improper use of ∇ in vector analysis.

Papildu literatūraLabot

  • Schey, Harry Moritz (2005), Div, grad, curl, and all that: an informal text on vector calculus (4 izd.), W.W. Norton, ISBN 978-0-39-392516-6.

Ārējās saitesLabot

  • Eric W. Weisstein, Nabla, MathWorld.
  • Nabla, PlanetMath.