Fraktālis

Fraktālis (franču: fractal, no latīņu: fractus — 'sašķelts, sadalīts') ir ģeometriska figūra, kura sastāv no vairākām (principā bezgalīgi daudzām) daļām, kas ir līdzīgas visai figūrai kopumā. Var teikt, ka fraktāļiem piemīt pašlīdzība. Fraktāļus var iegūt, atkārtoti dalot kādu figūru vai virsmu aizvien sīkākās daļās. Plašākā nozīmē fraktāļi ir punktu kopas Eiklīda telpā, kurām dimensiju skaits nav vesels skaitlis.

Fraktālim līdzīga puķukāpostu (brokoļu) šķirne

Jēdzienu "fraktālis" mēdz lietot, ja apskatāmajai figūrai piemīt kāda no šādām īpašībām:

• jebkurā mērogā figūras struktūra ir "netriviāla". Piemēram, apskatot lielā palielinājumā kādas regulāras figūras (riņķa līnijas, elipses, nepārtrauktas funkcijas grafika u.c.) fragmentu, tas būs līdzīgs taisnes gabaliņam. Fraktālis jebkurā mērogā ir vienādi sarežģīts un palielināšana nekādi to nevienkāršo;
• figūra, tās daļas un daļu daļas ir līdzīgas vai aptuveni līdzīgas figūrai kopumā;
• figūrai ir daļveida metriskā dimensija vai arī tās metriskā dimensija ir lielāka par topoloģisko dimensiju;
• figūru var iegūt ar rekursīvas procedūras palīdzību.

Daudziem dabā sastopamiem objektiem ir fraktāļveida uzbūve (krastu līnijām, mākoņiem, koku zaru vainagiem, dzīvnieku un cilvēka asinsrites sistēmai vai plaušu alveolu sazarojumiem).

Viena no fraktāļiem, tā saucamās Koha sniegpārsliņas, pakāpeniska iegūšana

Fraktāļi ir populāri objekti mākslā un izklaidē sava skaistuma un vienlaicīgas vienkāršības dēļ. Tos var viegli izveidot datora ekrānā ar samērā vienkāršu programmu palīdzību.

Definīcija

Ir definīcija, kurai atbilst liela daļa fraktāļu (tomēr ne visi). Definīcija sastāv no trīs punktiem.
1. Figūrai $F$ piemīt iekšējā simetrija, ja to ir iespējams sagriezt galīgā skaitā tādu figūru, kuras visas ir līdzīgas $F$.
2. Ja kādu figūru $F$, kurai piemīt iekšējā simetrija, var sagriezt $n$ vienādās figūrās, kuras visas ir līdzīgas $F$ un katra ir $k$ reizes mazāka par $F$, tad attiecību

$d=\log _{k}n={\frac {\ln n}{\ln k}}$

sauc par figūras $F$ fraktālo dimensiju.
3. Figūras kurām fraktālā dimensija nav vesels skaitlis, sauc par fraktāļiem.

Skatīt arī

• Mandelbrota kopa,
• Žiliā kopa (pazīstama arī kā Džūlija kopa un Džulia kopa),
• Serpiņska trijstūris,
• Koha līkne,
• Peano līkne,
• Kantora putekļi.

Literatūra

• Ilona Nukševica. Fraktāļi - nākotnes ģeometrija? Terra, Nr. 6, 2007, 27. lpp.

Ārējās saites

• Fraktālā māksla^{[novecojusi saite]}
• www.fraktalis.lv Matīsa Kūļa LMA diplomdarbs par fraktāļu mākslu