Elektromagnētiskā lauka enerģija

Elektromagnētiskā lauka enerģija ir enerģija, kura piemīt elektromagnētiskajam laukam. Par to, ka elektromagnētiskajam laukam ir enerģija, liecina enerģijas bilances vienādojums.

Enerģijas bilances vienādojums

Enerģijas bilances vienādojums ir

$\int _{V}p\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\operatorname {div} {\vec {S}}\,\mathrm {d} V-\int _{V}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}\,\mathrm {d} V\$

kur

$V\$ - tilpums

$t\$ - laiks

$p={\vec {j}}{\vec {E}}\$

${\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\times {\vec {B}}\$

$\omega ={\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})\$

Ja pārraksta enerģijas bilances vienādojumu, neizmantojot augstāk minētos apzīmējumus $\omega \$, ${\vec {S}}\$ un $p\$, tad vienādojums izskatās šāds:

$\int _{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V=-{\frac {c}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {div} ({\vec {E}}\times {\vec {B}})\,\mathrm {d} V-{\frac {1}{8\pi }}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2}+B^{2})\,\mathrm {d} V\$

Lai iegūtu enerģijas bilances vienādojumus, jāapskata elektromagnētisko lauku (${\vec {E}}\$, ${\vec {B}}\$) un tā avoti - lādiņnesēji, kuru izraisītās strāvas blīvums ${\vec {j}}=\rho {\vec {v}}\$.

Enerģijas bilances vienādojuma pierādījums

Uz lādiņnesējiem tilpuma elementā $\mathrm {d} V\$ darbojas Kulona spēks $\mathrm {d} {\vec {F}}=\rho {\vec {E}}\,\mathrm {d} V\$, tāpēc ka $\mathrm {d} q=\rho \,\mathrm {d} V\$, un Lorenca spēks, kurš atkarīgs no lādiņnesēju orientētās kustības ātruma ${\vec {v}}\$ un magnētiskās indukcijas ${\vec {B}}\$. Kulona spēka iedarbības rezultātā elektriskais lauks ${\vec {E}}\$ laika vienībā veic darbu $\mathrm {d} P={\vec {v}}\,\mathrm {d} {\vec {F}}=\rho {\vec {v}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V={\vec {j}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V\$. Darbs laika vienībā ir jauda, ko elektriskais lauks patērē lādiņu pārvietošanai. Ja lādiņu kustība notiek pa tilpumu $V\$, tad elektriskā lauka patērētā jauda

$P=\int _{V}\mathrm {d} P=\int _{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V\$

Saskaņā ar formulu ${\vec {F}}_{L}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}})\$ Lorenca spēka vektors $\mathrm {d} {\vec {F}}_{L}\$ vienmēr darbojas perpendikulāri lādiņa $\mathrm {d} q\$ ātruma ${\vec {v}}\$ virzienam un tādēļ darbu neveic: $\mathrm {d} P={\vec {v}}\,\mathrm {d} {\vec {F}}_{L}=0\$. No tā var secināt, ka integrālis $P=\int _{V}\mathrm {d} P=\int _{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V\$ ir pilnā jauda, ko lādiņiem, tos pārvietojot, atdod elektromagnētiskais lauks.

No trešā Maksvela vienādojuma $\operatorname {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\$ izsaka strāvas blīvumu ${\vec {j}}\$: ${\vec {j}}={\frac {c}{4\pi }}\operatorname {rot} {\vec {B}}-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\$. Tātad jaudas blīvums ${\vec {j}}{\vec {E}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\,\operatorname {rot} {\vec {B}}-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}{\vec {E}}\$. Izteiksmi var simetrizēt, izmantojot pirmo Maksvela vienādojumu, $\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\$. Saskaņā ar to ${\vec {B}}\,\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {B}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\$ un jaudas blīvums ${\vec {j}}{\vec {E}}={\frac {c}{4\pi }}({\vec {E}}\,\operatorname {rot} {\vec {B}}-{\vec {B}}\,\operatorname {rot} {\vec {E}})-\left({\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}{\vec {E}}+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\vec {B}}\right)\$. Iegūtās vienādības labās puses pirmo saskaitāmo pārveido, izmantojot to, ka ${\vec {E}}\,\operatorname {rot} {\vec {B}}-{\vec {B}}\,\operatorname {rot} {\vec {E}}=-\operatorname {div} ({\vec {E}}\times {\vec {B}})\$, bet otro uzraksta formā $-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\vec {B}}\right)=-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2}+B^{2})\$. Līdz ar to iegūstam enerģijas vienādojuma skalāro reizinājumu

${\vec {j}}{\vec {E}}=-{\frac {c}{4\pi }}\operatorname {div} ({\vec {E}}\times {\vec {B}})-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2}+B^{2})\ \$

Atliek tik nointegrēt pēc tilpuma elementa un iegūstam pilno enerģijas bilances vienādojumu.

Enerģijas bilances vienādojuma vienkāršais pieraksts

Enerģijas bilnaces vienādojumu, kurš dots šī raksta sākumā, ērti var uzrakstīt šādi:

$-{\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\oint _{\Sigma }{\vec {S}}\,\mathrm {d} \Sigma +P\$

kur

$W=\int _{V}\omega \,\mathrm {d} V={\frac {1}{8\pi }}\int _{V}(E^{2}+B^{2})\,\mathrm {d} V\$

$P=\int _{V}p\,\mathrm {d} V=\int _{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V\$

$\oint _{\Sigma }{\vec {S}}\,\mathrm {d} \Sigma =\int _{V}\operatorname {div} {\vec {S}}\,\mathrm {d} V\$ (Šī formula izriet no Ostrogradska-Gausa teorēmas, kur $\Sigma \$ ir tilpumu $V\$ norobežojoša virsma)

$W\$ ir elektromagnētiskā lauka enerģija, kuras dimensija ir $[W]={\frac {m^{2}\cdot kg}{s^{2}}}\$

$\omega \$ ir elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums, kuras dimensija ir $[\omega ]={\frac {kg}{m\cdot s^{2}}}\$

Pointinga vektors

Vektoru ${\vec {S}}\$ sauc par elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektoru jeb Pointinga vektoru. Vektora ${\vec {S}}\$ modulis $S={\frac {c}{4\pi }}|{\vec {E}}\times {\vec {B}}|\$ ir elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvums. Tā dimensija ir $[S]={\frac {kg}{s^{3}}}\$.

Džoula siltums

Džoula siltums ir enerģijas zudumi, kurus izraisa elektromagnētiskā lauka darbs (laika vienībā) $P=\int _{V}{\vec {j}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} V\$, plūstot strāvai pa vadu. $P\$ ir Džoula siltums, bet jaudas blīvumu $p\$ dēvē dažreiz par īpatnējo Džoula siltumu.

Enerģijas bilances vienādojuma interpretācija

Elektromagnētiskajam laukam tilpumā $V\$ piemīt enerģija $W\$, kura mainās laikā divu iemeslu dēļ:

• enerģija plūst caur lauka tilpumu norobežojošo virsmu $\Sigma \$;
• tās plūsma ir $\oint _{\Sigma }{\vec {S}}\,\mathrm {d} \Sigma \$, vai arī elektromagnētiskais lauks pārvieto lādiņus un līdz ar to veic darbu.

Piemēram, enerģija plūst, izplatoties elektromagnētiskajam vilnim. Maiņstrāvas ķēdēs, kuras satur spoles un kondensatorus, pastāv vektora ${\vec {S}}\$ plūsma, kura liek magnētiskajā un elektriskajā laukā uzkrātajai enerģijai divreiz periodā mainīties no nulles līdz maksimālajai vērtībai. Šāda plūsma rodas arī līdzstrāvas ķēdēs: ieslēgšanas brīdī tā piegādā enerģiju spoļu un kondensatoru laukam, bet, ķēdi atslēdzot, nodrošina šīs enerģijas izkliedēšanos (disipāciju). Un beidzot, vektora ${\vec {S}}\$ plūsma ir tā, kura pārnes enerģiju gan pa elektropārvades, gan pa sakaru un citām līnijām.

Pointinga vienādojums

Pointinga vienādojums ir šāds: $-{\frac {\partial \omega }{\partial t}}=\operatorname {div} {\vec {S}}+p\$. Šo diferenciālvienādojumu iegūst, kad, salīdzinot zemintegrāļa izteiksmes, enerģijas bilances vienādojuma kreisās un labās puses integrācijas apgabals $V\$ ir patvaļīgs, ar elektromagnētisko lauku "pildīts" tilpums.

Pointinga vienādojuma interpretācija

Telpas elementi $\mathrm {d} V\$, kuros laikā mainās elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums (${\frac {\partial \omega }{\partial t}}\neq 0\$), ir enerģijas plūsmas vektora ${\vec {S}}\$ līniju izteču un noteču vietas vai arī tajos elektromagnētiskais lauks, pārvietojot lādiņus, laika vienībā veic darbu $p={\vec {j}}{\vec {E}}\$ (šis lielums, kā jau teikts, ir zudumu jaudas blīvums).