Eilera formula

Eilera formula, kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā, ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista trigonometriskās funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju. Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim $x$ izpildās:

Kompleksās plaknes vienības riņķis, kur $y$ ass ir imagināra un $x$ ass ir reāla. Riņķi atlikta eilera formula.

$e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$, kur $e$ ir Eilera skaitlis, $i$ ir imaginārā vienība un $\cos$, $\sin$ ir trigonometriskās funkcijas kosinuss un sinuss. Formula ir arī spēkā, ja $x$ ir komplekss skaitlis.

Kad $x=\pi$, Eilera formula ir vienāda ar $e^{i\pi }=-1$.

Kompleksas pakāpes definīcijas

Diferenciālvienādojums

Pakāpes funkcija $f(z)=e^{z}$, kur $z$ ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:

${\frac {df}{dz}}=f$ un

$f(0)=1$

Teilora rinda

Priekš kompleksiem mainīgajiem $z$ izpildās Teilora rinda:

$e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$.

Robeža

Priekš kompleksiem mainīgajiem $z$ izpildās robeža:

$e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {z}{n}})^{n}$

Robežās definīcijas izmantotie $n$ ir pozitīvie veselie skaitļi.

Pierādījumi

Pastāv vairāki formulas pierādījumi.

Izmantojot atvasināšanau

Apskatīsim funkciju $f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta }}{e^{i\theta }}}$ jeb $f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })$, kur $\theta$ ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc $\theta$ ar reizināšanas kārtulu iegūst:

${\frac {df(\theta )}{d\theta }}=-ie^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })+e^{-i\theta }(-\sin {\theta }+i\cos {\theta }))$, iznesot pirms iekavām $e^{-i\theta }$ iegūst $e^{-i\theta }(-i\cos {\theta }+\sin {\theta }-\sin {\theta }+i\cos {\theta })$. Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad ${\frac {df(\theta )}{d\theta }}$ ir nulle, jeb $f(\theta )$ ir konstanta funkcija. Tā kā $f(0)=1$, tad pie jebkuras vērtības $\theta$ izpildās $f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta }}{e^{i\theta }}}=1$, jeb $\cos {\theta }+i\sin {\theta }=e^{i\theta }$.

Izmantojot Teilora rindu

Teilora rindas pierādījuma animācija

Izmantojot imaginārās vienības $i$ pakāpju īpašības:

${\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}$

Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem $x$:

${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$

Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz $\cos {x}$ un $\sin {x}$ funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.

Saistība ar trigonometriju

Saistība sinusa, kosinusa un imaginārās pakāpes funkcijai.

Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības, iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.

${\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}$

Šīs divas izteiksmes var iegūt, saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot $\cos$ vai $\sin$:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$

Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram:

${\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}$