Pī

Šis raksts ir par matemātikas konstanti. Par grieķu alfabēta burtu skatīt rakstu pī (burts).

Šis raksts ir par matemātikas konstanti. Par citām jēdziena pī nozīmēm skatīt nozīmju atdalīšanas lapu.

π (pī) ir matemātiska konstante, kuras aptuvenā vērtība ir 3,14159265359. Eiklīda ģeometrijā π ir riņķa līnijas garuma attiecība pret tās diametru. Visām riņķa līnijām šī attiecība ir viena un tā pati. Šī konstante ar grieķu burtu π regulāri tiek apzīmēta kopš 18. gadsimta vidus, kad to popularizēja Leonards Eilers. π ir iracionāls skaitlis, kas nozīmē to, ka šo skaitli nevar uzrakstīt precīzi — decimālajā pierakstā tas ir bezgalīgs, neperiodisks decimāldaļskaitlis. Vēl vairāk, π ir transcendents skaitlis. Mūsdienās matemātiķi un datorzinātnieki ir ieguvuši π vērtību ar 10 triljoniem (1×10¹³) ciparu aiz komata. Kā daļskaitli π aptuveno vērtību izmanto 22/7.

Ja pieņem riņķa diametru par 1, tad tā apkārtmērs ir π

Katru gadu 14. martā tiek atzīmēta π diena, kas ir neoficiāli matemātiķu svētki.

Definīcija

Konstante π vispārīgi tiek definēta kā riņķa līnijas garuma C attiecība pret tās diametru d:

$\pi ={\frac {C}{d}}$

Šī definīcija tomēr nav universāla. Dažādu iemeslu dēļ daži matemātiķi π definīciju balsta uz aprēķināšanas vai trigonometrijas metodēm.

Piederība skaitļu kopām

• π ir reāls skaitlis.
• π ir iracionāls skaitlis. Tas nozīmē, ka decimālajā pierakstā tas ir bezgalīgs, neperiodisks decimāldaļskaitlis.
• π ir izrēķināms skaitlis. Tas nozīmē, ka šī skaitļa vērtību var aprēķināt pēc patikas precīzi.
• π ir transcendents skaitlis. Tas nozīmē, ka šis skaitlis nepieder algebrisko skaitļu kopai, tātad — nepastāv tāds polinomiāls vienādojums, kam šis skaitlis būtu atrisinājums.

π aprēķināšana

• $\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots \!$

• ${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \!$

• $\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!$

• ${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!$

• ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots \!$

• ${\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!$, kur $\arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!$

• ${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots \!$

Vēsture

Lai gan jau Babilonijā aptuveni 2000 gadus pirms mūsu ēras izmantoja aptuveno π vērtību 3,125, tikai aptuveni 250 gadus p.m.ē. sengrieķu matemātiķis, fiziķis, inženieris, izgudrotājs un astronoms Arhimēds pirmais izstrādāja precīzu metodi π aprēķināšanai. Darbā "Par riņķa līnijas aprēķināšanu" viņš pirmo reizi aprēķināja skaitli π un pierādīja, ka tas ir viens un tas pats jebkurai riņķa līnijai.

Grieķu alfabēta burts π pirmo reizi tika pieņemts par apzīmējumu kā saīsinājums no grieķu vārda perímetros (περίμετρος). Konstante ir pazīstama arī kā Arhimēda konstante par godu Arhimēdam no Sirakūzas, kurš izstrādāja metodi skaitļa aprēķināšanai, tomēr mūsdienās šis konstantes nosaukums netiek bieži izmantots. Viljams Džonss (William Jones) bija pirmais, kurš izmantoja grieķu alfabēta burtu konstantes apzīmēšanai 1706. gadā, vēlāk to popularizēja šveiciešu matemātiķis Leonards Eilers 1737. gadā.

Viljams Džonss rakstīja: "ir dažādi citi veidi kā atrast garumus vai laukumus noteiktām līknēm vai plaknes daļām, kas var ļoti atvieglot pielietojumu, piemēram, riņķī diametrs pret perimetru ir kā 1 pret 3,14159 uc = π ..."

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Pī.

• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)
• Krievijas Lielās enciklopēdijas raksts (krieviski)
• Enciklopēdijas Krugosvet raksts (krieviski)
• 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com — tīmekļa lappuse, kas satur pī vērtību ar miljons cipariem aiz komata