Čevas teorēma

Čevas teorēma ir teorēma par trijstūriem Eiklīda ģeometrijā. Ir dots trijstūris ABC, uz kura malām BC, AC un AB vai to pagarinājumiem ir atlikti attiecīgi punkti D, E un F, kuri nesakrīt ar A, B vai C. Ja taisnes AD, BE un CF krustojas vienā punktā (šo punktu apzīmēsim ar O), tad Čevas teorēma apgalvo, ka

Čevas teorēmas 1. gadījums — punkts O atrodas trijstūra ABC iekšpusē

Čevas teorēmas 2. gadījums — punkts O atrodas ārpus trijstūra ABC

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Šajā vienādojumā ir lietoti virzīti nogriežņi — to garumi var būt gan pozitīvi, gan negatīvi skaitļi. Piemēram, attiecība AF/FB ir pozitīvs skaitlis tad, ja punkts F atrodas uz nogriežņa AB, bet ir negatīva, ja F atrodas uz nogriežņa AB pagarinājuma.

Nogriežņus AD, BE un CF sauc par čeviānām.

Čevas teorēmā var apskatīt divus gadījumus — ja O atrodas ABC iekšpusē (tad visi no punktiem D, E un F atrodas uz attiecīgajām trijstūra ABC malām) un ja O atrodas ārpus ABC (tādā gadījumā viens no punktiem D, E vai F atrodas uz attiecīgajām malām, pārējie divi — uz to pagarinājumiem).

Apgrieztā Čevas teorēma ar nelielām izmaiņām arī ir spēkā: Ja uz trijstūra ABC malām BC, AC un AB vai to pagarinājumiem ir atlikti attiecīgi punkti D, E un F tā, ka

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,$

tad taisnes AD, BE un CF krustojas vienā punktā vai arī AD, BE un CF visas ir savstarpēji paralēlas.

Teorēma ir nosaukta par godu Džovanni Čevam, kurš to aprakstīja savā 1678. gada darbā De lineis rectis, tomēr tā ir pieminēta jau Jusufa al Mutamida, 11. gadsimta Saragosas karaļa, darbos.

Šī teorēma ir ļoti līdzīga Menelaja teorēmai, to vienādojumi atšķiras tikai ar zīmi.

Pierādījums

Čevas teorēma var tikt pierādīta vairākos veidos. Dotais pierādījums izmanto trijstūru laukumus. Eksistē arī pierādījums, kas izmanto baricentriskās koordinātas un vektorus, kā arī pierādījums, izmantojot masas centrus.

Ir redzams, ka pierādāmās vienādības kreisā puse ir pozitīva jo vai nu visas trīs attiecības AF/FB, BD/DC un CE/EA ir pozitīvas (ja punkts O atrodas ABC iekšpusē), vai divas no šīm attiecībām ir negatīvas un viena — pozitīva (ja O atrodas ārpus ABC).

Apzīmēsim ar h perpendikulu, kas novilkts no punkta O pret taisni AB garumu. Trijstūra AOF laukumu tādā gadījumā var izteikt kā $[AOF]={\frac {1}{2}}*h*|AF|$ (AF — trijstūra pamats, h — pret to novilktais augstums). Analoģiski trijstūra FOB laukums ir $[FOB]={\frac {1}{2}}*h*|FB|.$ Mēs varam paņemt šo laukumu attiecību.

${\frac {[AOF]}{[FOB]}}={\frac {{\frac {1}{2}}*h*|AF|}{{\frac {1}{2}}*h*|FB|}}={\frac {|AF|}{|FB|}}.$.

Šo attiecību apzīmēsim ar r. Tātad $[AOF]=r*[FOB]$ Analoģiski mēs varam izteikt, ka trijstūru ACF un FCB attiecība ir vienāda ar r — ${\frac {[ACF]}{[FCB]}}={\frac {|AF|}{|FB|}}=r$ un $[ACF]=r*[FBC]$.

Ja C un O atrodas vienā pusē taisnei AB, tad trijstūra ACO laukumu var izteikt kā $[ACO]=[ACF]-[AOF]=r*[FCB]-r*[FOB]=r*([FCB]-[FOB]),$ bet OCB laukumu kā $[OCB]=[FCB]-[FOB].$ Paņemot ACO un OCB laukumu attiecību mēs iegūstam šādu izteiksmi:

${\frac {[ACO]}{[OCB]}}={\frac {r*([FCB]-[FOB])}{[FCB]-[FOB]}}=r={\frac {|AF|}{|FB|}}.$

Tātad var secināt, ka ${\frac {[ACO]}{[OCB]}}={\frac {|AF|}{|FB|}}.$

Ja C un O atrodas dažādās pusēs AB, tad iepriekšējie secinājumi ir analoģiski, tikai trijstūru laukumi tiek saskaitīti, nevis atņemti.

Analoģiski var iegūt, ka ${\frac {[BAO]}{[OAC]}}={\frac {|BD|}{|DC|}}$ un ${\frac {[CBO]}{[OBA]}}={\frac {|CE|}{|EA|}}$.

Sareizinot iegūtos vienādojumus mēs iegūstam, ka

$\left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|={\frac {[ACO]}{[OCB]}}\cdot {\frac {[BAO]}{[OAC]}}\cdot {\frac {[CBO]}{[OBA]}}=1.$

Tā kā mēs zinām, ka izteiksme zem moduļa zīmes ir pozitīva, mēs iegūstam

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,$

kas arī bija jāpierāda.

Čevas teorēmas nosacījums ir spēkā arī, ja taisnes AD, BE un CF ir savstarpēji paralēlas (šis gadījums parasti netiek pieminēts Čevas teorēmas formulējumā). To var pierādīt, izmantojot Talesa teorēmu.

Apgrieztās Čevas teorēmas pierādījums

Apgriezto Čevas teorēmu var pierādīt, izmantojot pierādījumu no pretējā — pieņemsim, ka taisnes AD, BE un CF nekrustojas vienā punktā un nav savstarpēji paralēlas. Nezaudējot vispārību varam pieņemt, ka punkts F atrodas uz nogriežņa AB (lai Čevas teorēmas nosacījums izpildītos vai nu visi punkti D, E un F atrodas uz atbilstošajiem nogriežņiem, vai nu divi no tiem atrodas uz pagarinājumiem, mēs varam pieņemt, ka tie ir D un E). Apzīmēsim AD un BE krustpunktu ar O₁ (ja AD ir paralēls ar BE tad viegli var pamatot, ka visas trīs taisnes ir paralēlas). No dotā zināms, ka tas nekrusto taisni CF. Novilksim taisni CO₁ un apzīmēsim tās krustpunktu ar taisni AB ar F₁. No Čevas teorēmas izriet, ka

${\frac {AF_{1}}{F_{1}B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

No dotā mums ir zināms, ka

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Tātād var secināt, ka ${\frac {AF_{1}}{F_{1}B}}={\frac {AF}{FB}}.$ Pieskaitot abām vienādojuma pusēm 1, mēs varam iegūt, ka ${\frac {AF_{1}+F_{1}B}{F_{1}B}}={\frac {AF+FB}{FB}}.$

No iepriekš pieņemtā mēs zinam, ka F atrodas uz nogriežņa AB. Līdzīgā veidā var secināt, ka arī F₁ atrodas uz nogriežņa AB. Tātad mēs varam iegūt, ka $AB=AF+FB$ un $AB=AF_{1}+F_{1}B.$ Ievietojot to iepriekš iegūtajā izteiksmē iegūstam, ka ${\frac {AB}{F_{1}B}}={\frac {AB}{FB}}.$ Ja gan F, gan F₁ pieder AB, tad var secināt, ka vienīgais gadījums, kad šī izteiksme ir patiesa ir tad, ja punkti F un F₁ sakrīt. Bet tādā gadījumā taisne CF iet caur AD un BE krustpunktu, kas ir pretrunā ar pieņēmumu. Tātad var secināt, ka pieņēmums ir aplams un taisnes AD, BE un CF krustojas vienā punktā.

Alternatīvais formulējums

Eksistē Čevas teorēmas alternatīvais formulējums, izmantojot leņķu sinusus. Ja taisnes AD, BE un CF krustojas vienā punktā, tas apgalvo, ka

${\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}}=1.$

Šajā formulējumā ir izmantoti virzītie leņķi — $\angle XYZ$ ir leņķis, par kādu vajag pagriezt taisni $XY$ pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam, lai iegūtu taisni $YZ$.

Izmantojot šo formulējumu var arī alternatīvi noformulēt apgriezto Čevas teorēmu.

Ārējās saites

• Čevas teorēmas izvedumi un pielietojumi (angliski)
• Čevas teorēmas trigonometriskā forma (angliski)
• Stefan Lozanovski. A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry (angliski)