Perpendikuls

Perpendikuls ir perpendikulārs nogrieznis, kas no kāda punkta novilkts pret taisni, un kuras atrodas tā galapunkts. Perpendikuls ir īsākais attālums no punkta vai taisnes līdz taisnei. Perpendikulāru nogriezni, kas no punkta novilkts pret taisni un kuru viens galapunkts atrodas uz šīs taisnes, sauc par perpendikulu no punkta pret taisni.

Perpendikulāras taisnes

${\overline {AA'}}\perp {\overline {AB}}$- taisnes AA' un AB ir krustiskas;
${\overline {AA'}}\perp {\overline {CD}}$- taisnes AA' un CD ir šķērsas.

Perpendikulāras taisnes ir taisnes, kuras krustojoties veido taisnu leņķi. Perpendikulāras taisnes var uzzīmēt, izmantojot uzstūri vai jebkuru priekšmetu ar taisnu leņķi.

Divas taisnes sauc par perpendikulārām, ja tās krustojoties veido taisnu leņķi jeb 90^o. Taišņu a un b perpendikularitāti apzīmē šādi: ${\overline {A}}\perp {\overline {B}}$
Tā kā 90^o lielu leņķi var veidot gan krustiskas taisnes, gan šķērsas taisnes (leņķis starp šķērsām taisnēm ir vienāds ar leņķi starp šīm taisnēm paralēlām krustiskām taisnēm), tad perpendikulāras taisnes arī var būt gan krustiskas, gan šķērsas taisnes.

Teorēma: Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra kādai trešajai taisnei, tad arī otra taisne ir tai perpendikulāra.

Taisnes un plaknes perpendikularitāte

Taisni sauc par perpendikulāru plaknei, ja tā ir perpendikulāra katrai šīs plaknes taisnei.

Iespējami trīs taisnes un plaknes savstarpējie stāvokļi:

1. taisnei un plaknei ir bezgalīgi daudz kopīgu punktu (visi taisnes punkti pieder plaknei jeb taisne atrodas plaknē)
2. taisnei un plaknei ir viens kopīgs punkts- taisne krusto plakni
3. taisnei un plaknei nav kopīgu punktu.

Perpendikulāra plakne.

Teorēma: Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra kādai plaknei, tad arī otra taisne ir perpendikulāra šai plaknei.

Ir spēkā arī apgrieztā teorēma: Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai un tai pašai plaknei, tad tās ir paralēlas.

Taisnes un plaknes perpendikularitātes pazīme

Ja taisnes ir perpendikulāra divām krustiskām taisnēm, kas atrodas plaknē, tad taisne ir perpendikulāra arī pašai plaknei.

Taisnes un divu paralēlu plakņu perpendikularitāte

Teorēma: Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām plaknēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai plaknei.

Apgrieztā teorēma:Ja divas plaknes ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei, tad šīs plaknes ir paralēlas.

Savstarpēji perpendikulāras taisnes un plaknes konstruēšana

Teorēma: Caur jebkuru telpas punktu var novilkt vienu vienīgu plakni, kas perpendikulāra dotajai taisnei.

Teorēma: Caur jebkuru telpas punktu var novilkt vienu vienīgu taisni, kas perpendikulāra dotajai plaknei.

Perpendikuls un slīpnes pret plakni. Attālums no punkta līdz plaknei

Perpendikulāras plaknes starp divām plaknēm.

Taisnes nogriezni, kas novilkts perpendikulāri no punkta līdz plaknei, sauc par perpendikulu pret šo plakni. Ja kāda taisne krusto plakni, bet nav tai perpendikulāra, tad šādu taisni sauc par slīpu taisni (attiecībā pret minēto plakni).

Slīpas taisnes nogriezni, kas novilkts no punkta līdz plaknei, sauc par slīpni pret šo plakni.

Teorēma: No kāda punkta pret plakni novilktais perpendikuls ir īsāks nekā jebkura slīpne, kas novilkta no tā paša punkta pret šo pašu plakni.

Attālums starp divām paralēlām plaknēm

Par attālumu starp divām paralēlām plaknēm sauc attālumu no vienas plaknes punkta līdz otrai plaknei. Caur taisni m novelk plakni b, kas paralēla plaknei a. Tā kā visi plaknes b punkti atrodas vienādā attālumā no plaknes a, tad arī visi taisnes m punkti atrodas vienādā attālumā no plaknes a. Tāpēc, nosakot attālumu starp taisni m un tai paralēlo plakni a, uz taisnes var brīvi izvēlēties kādu punktu C un noteikt tā attālumu CC₁ līdz plaknei a.

Par attālumu starp taisni un tai paralēlu plakni sauc attālumu no jebkura taisnes punkta līdz plaknei.

Slīpņu un to projekciju garumu salīdzināšana

Teorēma: Ja no viena punkta pret plakni ir novilktas divas slīpnes, tad

1. vienādām slīpnēm atbilst vienādas projekcijas
2. īsākajai slīpnei atbilst īsākā projekcija.

Slīpne un projekcija.

Pierādījums:
Izvēlas punktu A ārpus plaknes a. No punkta A pret plakni a novelk perpendikulu AA₁ un slīpnes AK, AL un AM tā, lai AK = AL, bet AK > AM.
Salīdzina šo slīpņu projekcijas: A₁L, A₁K un A₁M.

1. Secina, ka trijstūris AA₁ = trijstūris AA₁L kā taisnleņķa trijstūri, kuru hipotenūzas AK un AL ir vienādas, bet katete AA₁ - kopīga. Tas nozīmē, ka katetes A₁K un A₁L arī ir vienādas. Tātad vienādām slīpnēm atbilst vienādas projekcijas.
2. Trijstūra AA₁K plaknē novelk slīpni AM₁ tā, lai AM₁ = AM. Tā kā AM₁ un AK ir slīpnes no punkta A pret taisni A₁K un ir zināms, ka īsākajai slīpnei pret taisni atbilst īsākā projekcija, tad A₁M₁ < A₁K.

Savukārt no 1. punkta pierādītā izriet, ka vienādām slīpnēm AM un AM₁ atbilst vienādas projekcijas. Tāpēc arī A₁M < A₁k₁, un tādējādi ir pierādīts, ka pret plakni novilktai īsākajai slīpnei atbilst īsākā projekcija.

Leņķis starp taisni un plakni

Teorēma:Leņķis starp slīpni un tās projekciju plaknē ir vismazākais no visiem leņķiem, kurus dotā slīpne veido ar jebkuru citu taisni, kas novilkta plaknē.
Par leņķi starp taisni un plakni sauc leņķi starp taisni un tās projekciju plaknē. Ja taisne ir perpendikulāra plaknei, tad uzskata, ka leņķis starp šo taisni un plakni ir 90^o, bet, ja taisne ir paralēla plaknei, tad uzskata, ka leņķis starp šo taisni un plakni ir 0^o.

Triju perpendikulu teorēma

Teorēma: Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulāra pret slīpnes projekciju, tad tā ir perpendikulāra arī pret pašu taisni.
Šo teorēmu sauc par triju perpendikulu teorēmu tāpēc, ka tā saista trīs perpendikulus:

1. CB pret plakni alfa
2. BA pret taisni a
3. CA pret taisni a.

Risinot uzdevumus, ļoti bieži ir jāizmanto triju perpendikulu teorēmas apgrieztā teorēma:
Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulāra pret slīpni, tad tā ir perpendikulāra arī pret šis slīpnes projekciju.

Eiklīda teorēma

Eiklīda.

Taisnleņķa trijstūra katete ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un šīs katetes projekciju uz hipotenūzas.
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionālais starp katešu projekcijām uz hipotenūzas.

Pierādījums:
Visi trīs taisnleņķa trijstūri ACD, ACB, CDB ir līdzīgi. Tāpēc ir spēkā šādas attiecības:

• b² = cb_c
• a² = ca_c
• h²_c = a_cb_c

Trijstūru augstumi un riņķa līnija

Apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas trijstūra vidusperpendikulu krustpunktā.

Trijstūris	Riņķa līnijas centra atrašanās vieta	Piemērs
Šaurleņķa trijstūris	Trijstūra iekšpusē.
Taisnleņķa trijstūris	Hipotenūzas viduspunktā.
Platleņķa trijstūris	Trijstūra ārpusē.

Ārējās saites

ScriGroup - documente, proiecte, analize