Venna diagramma, kas attēlo divu kopu šķēlumu.

Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopas un to īpašības. Kaut gan kopas var sastāvēt no jebkādiem objektiem, kopu teorija parasti tiek lietota objektiem, kas ir saistīti ar matemātiku. Kopu teorijas valodu var izmantot gandrīz visu matemātisko objektu definīcijās.

Modernos kopu teorijas pētījumus aizsāka Georgs Kantors un Rihards Dēdekinds ap 1870. gadu. Pēc paradoksu atklāšanas naivajā kopu teorijā, 20. gs. sākumā tika piedāvātas daudzas aksiomu sistēmas, no kurām labi pazīstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izvēles aksioma.

Satura rādītājs

PamatjēdzieniLabot

KopaLabot

Kopa ir matemātikas pamatjēdziens, to nevar definēt ar citu jēdzienu palīdzību. [1] Ar jēdzienu "kopa" matemātikā saprot vairākus priekšmetus vai objektus, kas apvienoti vienā veselā pēc kādas visiem tiem kopīgas pazīmes. Piemēram, Eiropas valstu kopa, pirmā kursa studentu kopa, visu naturālo skaitļu kopa.

Kopas elementiLabot

Objekti, no kuriem veidotas kopas, var būt ne tikai materiāli priekšmeti, bet arī abstrakti jēdzieni, kā punkti, skaitļi, figūras u.t.t. Šos objektus, no kuriem viedojas kopa, sauc par kopas elementiem. Piemēram, naturālo skaitļu kopas   elementi ir 1, 2, 3, 4, ...

Kopas un tās elementu apzīmējumiLabot

Kopas parasti apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, bet kopu elementus - ar mazajiem burtiem. Attieksmi starp kopu un tās elementiem, ko izsaka ar vārdiem "būt elementam", "ietilpt kopā", apzīmē arī ar vārdu "piederēt".

Ja kāds objekts   ir kopas   elements, tad raksta   un lasa "  pieder pie kopas  ", "  ir kopas   elements".

Ja objekts   nav kopas   elements, tad raksta   jun lasa "  nepieder pie kopas  ", "  nav kopas   elements" [2]

Kopu uzdošana matemātikāLabot

Kopu uzskata par uzdotu, ja ir norādīta kāda pazīme, pēc kuras par jebkuru objektu var pateikt, vai tas pieder pie kopas vai nepieder. Visbiežāk kopas uzdod divos veidos:

  1. sastāda pilnīgu un izsmeļošu kopas elementu sarakstu;
  2. norāda īpašību, kas piemīt visiem aplūkojamās kopas elementiem un kas nepiemīt nevienam citam objektam.[3]

Kopu pierakstsLabot

Ja kopu uzdod ar pirmo veidu, tās elementus sarakstu ieslēdz figūriekavās. Piemēram,  ;  pavasaris, vasara, rudens, ziema .

Ja kopu uzdod ar otro veidu, tad figūriekavā vispirms raksta kopas elementu vispārīgo apzīmējumu, novelk vertikālu svītru un aiz tās raksta elementu raksturīgo īpašību.

Piemēram,   ir pirmskaitlis ,   ir bērzi, kuru augstums pārsniedz 20 metrus .

Tukša kopaLabot

Kopu, kura nesatur nevienu elementu sauc par tukšu kopu. Piemēram,   ir naturāls skaitlis, kurš mazāks par 1 . Tukšu kopu apzīmē ar simbolu  .

Galīgas kopasLabot

Kopu sauc par galīgu, ja var saskaitīt tās elementus, vai arī, ja var pierādīt, ka elementu skaits kopā nepārsniedz iepriekš dotu naturālu skaitli.

Kopu   ir galīga, jo tajā ir trīs elementi.

Latvijas zaķu kopa. Protams, nevar precīzi pateikt, cik zaķu ir Latvijā, tomēr var droši apgalvot, ka zaķu skaits tajā nepārsniedz  .

Tukša kopa ir galīga, jo elementu skaits tajā ir 0.

Bezgalīgas kopasLabot

Kopu, kurā elementu skaits ir lielāks nekā jebkurš iepriekš dots naturāls skaitlis  , sauc par bezgalīgu.

Taisnes punktu kopa, naturālu skaitļu kopa  . [4]

 
Eilera-Venna diagramma. Kopa   iekļauj sevī visus kopas   elementus.

Kopu grafiskā ilustrācijaLabot

Katru kopu var attēlot grafiski kā Eilera-Venna diagrammu, uzzīmējot slēgtu kontūru, pieņemot, ka dotās kopas elementus reprezentē iegūtās figūras punkti. Pašus punktus zīmējumā var arī neuzrādīt. Attēlā pa labi redzams, ka kopa   ietilpst kopā  , kaut arī šajā zīmējumā tieši neredzam kopas   un   elementus un nezinām, kādas ir kopas   un  . [2]

ApakškopasLabot

Kopu   auc par kopas   apakškopu, ja katrs kopas   elements ir arī kopas   elements.

 , kopa   ir kopas   apakškopa, līdzvērtīgi  , kopa   aptver kopu  . Attieksmes   grafiskais attēlojums redzams zīmējumā.

Īstās un neīstās apakškopasLabot

Matemātikā uzskata, ka tukša kopa   ir katras kopas   apakškopa. Kā arī pēc definīcijas kopa   ir pati sev apakškopa. Pašu kopu   un tukšo kopu   sauc par kopas   neīstām apakškopām.

Kopas   jebkuru netukšu apakškopu, kas nav vienāda ar visu kopu  , sauc par kopas   īstu apakškopu.

Vienādas kopasLabot

Kopas sauc par vienādām, ja kopas   un   sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Kopas elementu secībai nav nozīmes.

Kopu vienādības pietiekamais un nepieciešamais nosacījums ir, ka kopas   un   ir vienādas tad un tikai tad, ja   un arī  .

Attieksmju " " un " " transitīvā īpašībaLabot

Dažus spriedumus var vienkāršot izmantojot īpašības, ka

  • ja   un  , tad  
  • ja   un  , tad  

Darbības ar kopāmLabot

Ar kopām var veikt dažādas darbības, kuru rezultātā var iegūt jaunas kopas. Visu aplūkojamo objektu kopu sauc par universu jeb universālo kopu un apzīmē ar burtu  .[5]

 
Kopu   un   šķēluma attēlojums ar Eilera-Venna diagrammu.

Kopu šķēlumsLabot

Par divu kopu   un   šķēlumu sauc kopu   , kura satur tos un tikai tos elementus, kuri pieder gan kopai  , gan kopai  . [5]

  un  

Īpašības:

  1. Komutatīvā  ;
  2. Asociatīvā  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5. Ja  , tad  .[1]
 
Kopu   un   apvienojuma attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.

Kopu apvienojumsLabot

Par divu kopu   un   apvienojumu sauc kopu  , kas satur tos un tikai tos elementus, kas pieder vismaz vienai no abām kopām.

  vai  

 
Kopu   un   starpības attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.

Īpašības:

  1. Komutatīvā  ;
  2. Asociatīvā  ;
  3. Distrubutīvā īpašība:
    • Šķelšanās operācijai attiecībā pret apvienojuma operāciju  ;
    • Apvienojuma operācijai attiecībā pret šķelšanās operāciju  ;
  4.  ;
  5.  
  6. Ja  , tad  [1]

Kopu starpībaLabot

Par divu kopu   un   starpību sauc kopu  , kur satur tos un tikai tos kopas   elementus, kas nepieder kopai  .

  un  

 
Kopas   papildinājuma līdz kopai  , ja kopa   attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.

Īpašības:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6. Ja  , tad  .[1]
 
Kopas   papildkopas attēlojums ar Eilera-Venna diagrammu.

Kopas papildinājumsLabot

Par kopas   papildinājumu līdz kopai   sauc kopu   , kas ir   un   starpība, ja kopa   ir kopas   apakškopa.

 , ja  

Par kopas   papildkopu   sauc universālkopas   visu to elementu kopu, kas nepieder kopai  .

 

Īpašības:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  .

AtsaucesLabot

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Baiba Bērztīse. Kopu teorijas elementi. Liepāja, 2001. ISBN 9984-654-57-5.
  2. 2,0 2,1 H. Graudone, U. Grinfelds, G. Malzubre, J. Mencis, K. Šteiners. Rokasgrāmata elementārajā matemātikā. Rīga : Zvaigzne, 1982. ISBN 154.81.1702010000 .
  3. M. Pelņa. Kopu teorijas pamatjēdzieni. Rīga : LU, 1992.
  4. Kārlis Dobelis. Kopu teorijas pamatjautājumi. Liepāja : LPA, 1998. ISBN 9984-562-89-1.
  5. 5,0 5,1 Pauls Glendinings. Matemātika īsumā. Jāņa Rozes apgāds, 2015. ISBN 978-9984-23-500-4.