Rihards Dēdekinds

Rihards Dēdekinds; Richard Dedekind
Personīgā informācija
Dzimis	1831. gada 6. oktobrī ; Braunšveiga, Braunšveigas hercogiste; ( Vācija)
Miris	1916. gada 12. februārī (84 gadi); Braunšveiga, Vācijas Impērija; ( Vācija)
Zinātniskā darbība
Zinātne	matemātika (abstraktā algebra, algebrisko skaitļu teorija
Darba vietas	Getingenes Universitāte, Berlīnes Universitāte, Braunšveigas Tehniskā augstskola
Alma mater	Getingenes Universitāte, ETH Cīrihe, Padziļināto studiju institūts
Pasniedzēji	Kārlis Frīdrihs Gauss, Pēters Gustavs Ležēns Dirihlē
Sasniegumi, atklājumi	Dēdekinda griezums (Dedekind cut/Dedekindscher Schnitt), Dēdekinda gredzens (Dedekind domain/Dedekindring), Dēdekinda ēta funkcija, Dēdekinda zēta funkcija

Jūlijs Vilhelms Rihards Dēdekinds (vācu: Julius Wilhelm Richard Dedekind, dzimis 1831. gada 6. oktobrī, miris 1916. gada 12. februārī) bija viens no izcilākajiem 19.gs. vācu matemātiķiem. Darbi abstraktajā algebrā, algebrisko skaitļu teorijā un reālo skaitļu teorijā. Mācījies Getingenē un Berlīnē, tomēr lielāko daļu no dzīves pavadījis dzimtajā Braunšveigā. Gausa pēdējais skolnieks. Pētera Dirihlē tuvs draugs.

Dzīve

Dēdekinda tēvs bija Jūliuss Vilhems Ulrihs Dēdekinds, strādāja par administratoru koledžā Braunšveigā. Dēdekindam bija 3 vecāki brāļi un māsas. Pieaudzis būdams, viņš nekad nelietoja vārdus “Jūliuss Vilhelms”. Dzimis, sava mūža lielāko daļu pavadījis un miris Braunšveigā (angliski to dēvē par “Brunswick”).^[1]

1848. gadā pirmo reizi apmeklēja Carolinum koledžu, bet 1850. gadā pārgāja uz Getingenes Universitāti. Tur Dēdekindam skaitļu teoriju pasniedza profesors Morics Sterns. Gauss aizvien mācīja, lai arī lielākoties tikai elementārā līmenī, Dēdekinds kļuva par Gausa pēdejo audzēkni. 1852. gadā Dēdekinds saņēma doktora grādu par disertāciju ar nosaukumu “Teorija par Eilera integrāļiem”. Šī tēze nepierādīja viņa talantu, kas bija acīmredzamas viņa turpmākajās publikācijās.^[1]

Tajā laikā Berlīnes Universitāte, nevis Getingenes, bija galvenā matemātiskās pētniecības iestāde Vācijā. Dēdekinds divus gadus studēja Berlīnē, kur gan viņam, gan viņa laikabiedram – Bernardam Rīmanam 1854. gadā tika piešķirta habilitācija. Pēc tam viņš atgriezās Getingenē, lai mācītu kā docents, pasniedzot varbūtības un ģeometrijas kursus. Kādu laiku studējis kopā ar Johanu Pēteri Gustavu Ležēnu Dirihllē, abi kļuva par labiem draugiem. Savu matemātisko zināšanu vājo vietu dēļ, studēja par elipsēm un Abelia variācijām. Viņš bija pirmais Getingenē, kurš lasīja lekcijas par Galoisa teoriju. Šajā laikā viņš kļuva par vienu no pirmajiem cilvēkiem, kas izprata algebras un aritmētikas nozīmi.^[1]

1858. gadā uzsāka mācības Politehniskajā skolā Cīrihē. Laikā, kad šī skola tika modernizēta un kļuva par Tehnoloģiju institūtu, Dēdekinds atgriezās dzimtajā Braunšveigā, tur arī pavadīja visu atlikušo mūžu. 1894. gadā aizgāja pensijā, laiku pa laikam mācīja un turpināja publicēt. Tā arī neaprecējās, bet dzīvoja kopā ar savu māsu Džūliju.

Dēdekinds tika izvēlēts Berlīnes (1880) un Romas akadēmijā, un Francijas Zinātņu akadēmijā (1900). Saņēmis Goda Doktora grādu Oslo, Cīrihes un Braunšveigas Universitātē.

Darbs

Kamēr Politehniskajā skolā pirmo reizi mācīja aprēķinus, Dēdekinds izstrādāja jēdzienu, ko tagad sauc par “Dēdekinda griezumu”, šobrīd tā ir reālo skaitļu standarta definīcija.

Griezuma doma ir, ka iracionāls skaitlis sadala racionālos skaitļus divās šķirās jeb kopās, vieni ir lielākas klases skaitļi, otri mazākas klases skaitļi. Piemēram, kvadrātsakne no 2 definē visus nenegatīvos skaitļus, kuru kvadrāti ir mazāki par 2 un negatīvos skaitļus mazākā klasē. Pozitīvos skaitļus, kuri ir lielāki par 2 iedala lielākā klasē. Katrā numuru patstāvīgajā vietā ir vai nu racionāls, vai neracionāls skaitlis. Tāpēc nepastāv tādi pārtraukumi vai spraugas starp skaitļiem. Dēdekinds publicēja savas domas par iracionāliem skaitļiem un “Dēdekinda griezumu” savā pamfletā “Nepārtrauktība un iracionāli skaitļi”,^[2] modernajā terminoloģijā - pilnība.

Dēdekinda teorēma liecina, ka tad, ja starp diviem komplektiem “viens pret vienu” pastāv atbilstība, tad abi komplekti ir “līdzīgi”. Viņš aprakstīja līdzību, lai sniegtu pirmo, precīzo bezgalīgas kopas definīciju; kopa ir bezgalīga, ja tā ir vienāda ar vienu no tās raksturīgajām apakškopām. Tā var pierādīt, ka naturālo skaitļu kopa N ir līdzīga N apakškopai, kuras dalībnieki ir katra N dalībnieka kvadrāti (N -> N²)

N	¹	²	³	⁴	⁵	⁶	⁷	⁸	⁹	^{10 …}
N²	¹	⁴	⁹	¹⁶	²⁵	³⁶	⁴⁹	⁶⁴	⁸¹	^{100 …}

Dēdekinds pārveidoja Dirihlē, Gausa un Rīmena apkopotos darbus. Dēdekinda pētījums par Dirihlē darbu noveda viņu pie vēlākiem algebrisko skaitļu lauku un ideālu pētījumiem. 1863. gadā viņš publicēja Dirihlē lekcijas par skaitļu teoriju, par kurām ir rakstīts, ka:

“Grāmata ir cieši balstīta uz Dirihlē lekcijām un Dēdekinds visu mūžu uz grāmatu bija atbildējis, kā tā ir Dirihlē grāmata, neskatoties uz to, ka grāmatu lielākoties pēc Dirihlē nāves sarakstīja Dēdekinds.” (Edvards, 1983 )

1879. un 1894. gada lekciju izdevumos tika iekļauti papildinājumi, kas iepazīstināja ar gredzena teorijas jēdzienu. (vārds “Gredzens”, ko vēlāk ieviesa Hilberts, neparādijās Dēdekinda darbos.) Dēdekinds definēja ideālu, par skaitļu kopas apakškopu, kas sastāv no algebriskiem veselumiem, kuri atbilst polinomu vienādojumiem ar veseliem skaitļu koeficientiem. Šo domu tālāk attīstīja Hilberts un Amālija Emmija Nētere. Ideāli vispārina Ernsta Eduarda Kummera ideālos ciparus, kas izdomāti kā daļa no Kummera 1843. gada mēģinājuma pierādīt Fermaka pēdējo teorēmu. Tādēļ var teikt, ka Dēdekinds bija Kummera svarīgākais māceklis. 1882. gadā kādā rakstā Dēdekinds un Heinrihs Martins Vēbers pielietoja ideālus Rīmena virsmām, pierādot Rīmena – Roha teorēmu (Riemann - Roch).^[1]

Dēdekinds deva vēl vienu ieguldījumu algebrā. Ap 1900. gadu viņš uzrakstīja pirmos dokumentus par modulārajiem režģiem. 1872. gadā, pavadot brīvdienas Interlakenā, Dēdekinds iepazinās ar Georgu Kantoru. Tā sākās ciešas savstarpējas cieņas attiecības un Dēdekinds kļuva par vienu no pirmajiem matemātiķiem, kas novērtēja Kantora darbus par bezgalīgajām kopām. Redzot un novērtējot Kantoru strīdos ar Leopoldu Kronekeru, kurš bija pret Kantora bezgalīgajiem skaitļiem.^[3]

Atsauces

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics
↑ Ewald, William B., ed. (1996) "Continuity and irrational numbers", p. 766 in From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford University Press.
↑ Aczel, Amir D. (2001), The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity, Pocket Books nonfiction, Simon and Schuster, p. 102, ISBN 9780743422994