Kvadrātvienādojums
Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir
kur ir nezināmais un ≠ 0. Izteiksmi sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).
Kvadrātvienādojuma saknesLabot
Kvadrātvienādojuma saknes un var aprēķināt pēc formulas
jeb (izvērstā veidā)
Lietot var arī -
Kvadrātvienādojuma diskriminantsLabot
Lielumu
sauc par kvadrātvienādojuma diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:
- ja , tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
- ja , tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas ;
- ja , tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.
Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājosLabot
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes un , tad attiecīgo kvadrāttrinomu var sadalīt reizinātājos:
Vjeta teorēmaLabot
Ja un ir kvadrātvienādojuma saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu , kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar :
Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā , kur ≠ 0, un un ir tā saknes, tad
Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.
Ja un ir kvadrātvienādojuma saknes, tad ir spēkā vienādība
Atverot iekavas, iegūstam
Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā , kur ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar un iegūt kvadrātvienādojumu
Šis kvadrātvienādojums ir formā kur un , tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst
kur un ir vienādojuma saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad un ir arī vienādojuma saknes.
Skatīt arīLabot
Ārējās saitesLabot
- Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
- Quadratic formula, PlanetMath.
- Quadratic equation in C, PlanetMath.
- Derivation of quadratic formula, PlanetMath.
- Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
- Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation, 101 uses of a quadratic equation: Part II, Plus, 2004.