Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

$ax^{2}+bx+c=0,\,$

kur $x$ ir nezināmais un $a$ ≠ 0. Izteiksmi $ax^{2}+bx+c$ sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ saknes $x_{1}$ un $x_{2}$ var aprēķināt pēc formulas

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

jeb (izvērstā veidā)

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad \quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Lietot var arī - $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

$D=b^{2}-4ac\,$

sauc par kvadrātvienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

• ja $D>0$, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
• ja $D=0$, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas $x=-b/2a$;
• ja $D<0$, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ saknes $x_{1}$ un $x_{2}$, tad attiecīgo kvadrāttrinomu $ax^{2}+bx+c$ var sadalīt reizinātājos:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\,$

Vjeta teorēma

Ja $x_{1}$ un $x_{2}$ ir kvadrātvienādojuma $x^{2}+px+q=0$ saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu $p$, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar $q$:

$x_{1}+x_{2}=-p,\quad \quad x_{1}x_{2}=q.$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $ax^{2}+bx+c=0$, kur $a$ ≠ 0, un $x_{1}$ un $x_{2}$ ir tā saknes, tad

$x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad \quad x_{1}x_{2}=c/a.$

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums

Ja $x_{1}$ un $x_{2}$ ir kvadrātvienādojuma $x^{2}+px+q=0$ saknes, tad ir spēkā vienādība

$(x-x_{1})(x-x_{2})=x^{2}+px+q.\,$

Atverot iekavas, iegūstam

${\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\\&=x^{2}\underbrace {-(x_{1}+x_{2})} _{p}x+\underbrace {x_{1}x_{2}} _{q}.\end{aligned}}$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $ax^{2}+bx+c=0$, kur $a$ ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar $a$ un iegūt kvadrātvienādojumu

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

Šis kvadrātvienādojums ir formā $x^{2}+px+q=0,$ kur $p=b/a$ un $q=c/a$, tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

$x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad \quad x_{1}x_{2}=c/a,$

kur $x_{1}$ un $x_{2}$ ir vienādojuma $x^{2}+px+q=0$ saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad $x_{1}$ un $x_{2}$ ir arī vienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ saknes.

Skatīt arī

• Bikvadrātvienādojums
• Diskriminants
• Lineārs vienādojums
• Polinoms
• Vienādojums

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
• Quadratic formula, PlanetMath.
• Quadratic equation in C, PlanetMath.
• Derivation of quadratic formula, PlanetMath.
• Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
• Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation, 101 uses of a quadratic equation: Part II, Plus, 2004.