Centrālā robežteorēma

Centrālā robežteorēma ir teorēma varbūtību teorijā, kas apgalvo, ka, izpildoties noteiktiem nosacījumiem, normalizētas izlases vidējās vērtības sadalījums konverģē uz standarta normālo sadalījumu (normālo sadalījumu ar matemātisko cerību 0 un dispersiju 1). Centrālā robežteorēmā izpildās arī gadījumos, kad gadījuma lielumi paši nav normāli sadalīti. Eksistē dažādas teorēmas formas ar atšķirīgiem nosacījumiem.

Klasiskā centrālās robežteorēmas forma ir sekojoša. Pieņemsim, ka $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ ir neatkarīgi un vienādi sadalīti gadījuma lielumi ar matemātisko cerību $\mu$ un galīgu dispersiju $\sigma ^{2}$. Ar ${\bar {X}}_{n}$ apzīmēsim izlases vidējo vērtību (${\bar {X}}_{n}=(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})/n$). Tādā gadījumā centrālā robežteorēma apgalvo, ka robežā pie $n\to \infty$ statistika ${\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )/\sigma$ pieņem standarta normālo sadalījumu, jeb tās sadalījuma funkcija tiecas uz standarta normālā sadalījuma funkciju. Šo apgalvojumu var analoģiski uzrakstīt kā konverģenci pēc sadalījuma:

$${\sqrt {n}}{\frac {\left({\bar {X}}_{n}-\mu \right)}{\sigma }}\mathrel {\overset {d}{\longrightarrow }} {\mathcal {N}}\left(0,1\right).$$

Citās teorēmas versijās nosacījumu par neatkarīgiem un vienādi sadalītiem gadījuma lielumiem iespējams pavājināt, tā vietā pievienojot citus nosacījumus. Centrālā robežteorēma izpildās arī gadījuma lielumiem, kas nav vienādi sadalīti, vai arī atkarīgiem gadījumam lielumiem, ja izpildās noteikti citi nosacījumi.

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Centrālā robežteorēma.
• Encyclopedia of Mathematics ieraksts (angliski)