Bernulli skaitlis

Bernulli skaitļi ir virkne racionālu skaiļu, kuri parādās matemātiskajā analīzē. Tie parādās teilora rindās priekš tangensa un hiperboliskā tangensa funkcijām, Faulhābera formulā priekš pirmajiem n naturālajiem skaitļiem, kas kāpināti m-tajā pakāpē kā arī atsevišķās vērtībās Rīmaņa zeta funkcijā.

Pirmie Bernulli skaitļi

Pastāv divi pierakstu veidi $B_{m}^{-}$ un $B_{m}^{+}$, kas atšķiras tikai priekš vērtības n = 1 , kur $B_{1}^{-}=-1/2$ un $B_{1}^{+}=+1/2$. Citiem nepāra skaitļiem Bernulli skaitļi ir nulle. Pāra skaitļiem $B_{n}$ ir negatīvs, ja n dalās ar 4 un pozitīvs citos gadījumos.

Pakāpju summa

Bernulli skaitļi sākotnēji parādījās Jākoba Bernulli pēc nāves publikācijā 1713.gadā, kuri arī neatkarīgi parādijās Seki Kowa pēc nāves publikācijā 1712.gadā. Bernulli pētīja summas kāpinātiem naturāliem skaitļiem(summas skaitļu kvadrātiem, kubiem, u.t.t.). Definējam $S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n-1}k^{p}$.

Pirmās vērtības:

${\begin{aligned}&S_{0}(n)=n\\&S_{1}(n)={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n\\&S_{2}(n)={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\\&S_{3}(n)={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}\\&S_{4}(n)={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n\\&S_{5}(n)={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}\\&S_{6}(n)={\frac {1}{7}}n^{7}-{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}-{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n\\&S_{7}(n)={\frac {1}{8}}n^{8}-{\frac {1}{2}}n^{7}+{\frac {7}{12}}n^{6}-{\frac {7}{24}}n^{4}+{\frac {1}{12}}n^{2}\end{aligned}}$

Šīs summas Bernulli pārformulēja, ievērojot to saistību ar kombinācijām. No summas izvelkot koeficientu ${\frac {1}{p+1}}$ un no koeficientiem izvelkot noteiktas kombinācijas iegūst konstantus skaitļus, kurus dēvē par Bernulli skaitļiem. Pirmie Bernulli skaitļi virknē: ${\begin{aligned}B_{0}=1,\ \ B_{1}=-{\frac {1}{2}},\ \ B_{2}={\frac {1}{6}},\ \ B_{3}=0,\ \ B_{4}=-{\frac {1}{30}},\ \ B_{5}=0,\\B_{6}={\frac {1}{42}},\ \ B_{7}=0,\ \ B_{8}=-{\frac {1}{30}},\ \ B_{9}=0,\ \ B_{10}={\frac {5}{66}},\ \ B_{11}=0\end{aligned}}$

Vispārīgi šo summu var pierakstīt kā $S_{p}(n)={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}\cdot B_{k}\cdot n^{p+1-k}$

Definīcijas

Bernulli skaitļus var ieviest dažādos veidos:

• Rekursīvi
• Funkcija
• Ģenerējošā funkcija
• Integrālis

Rekursija

Bernulli skaitļiem izpildās formulas:

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}^{-}=\delta _{p,0}\\&\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}^{+}=m+1\end{aligned}}$

kur $m=0,1,2,...$ un $\delta$ ir Kronekera delta. Izsakot $B_{m}^{\mp }$ iegūst rekusīvās formulas:

${\begin{aligned}&B_{p}^{-}=\delta _{p,0}-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p}{k}}\cdot {\frac {B_{k}^{-}}{m-k+1}}\\&B_{p}^{+}=1-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p}{k}}\cdot {\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}\end{aligned}}$

Funkcija

${\begin{aligned}&B_{p}^{-}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{p}\\&B_{p}^{+}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}\end{aligned}}$