Aritmētikas pamatteorēma

Skaitļu teorijā aritmētikas pamatteorēma apgalvo, ka jebkurš naturāls skaitlis n > 1 ir viennozīmīgi izsakāms kā pirmskaitļu reizinājums formā $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\ldots p_{m}^{\alpha _{m}},$ kur $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{m}$ ir pirmskaitļi un $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ ir pozitīvi veseli skaitļi un m ≥ 1.^[1]^[2]

Pielietojumi

Ja zināms, kā dotos skaitļus sadalīt pirmreizinātājos, ir ļoti viegli atrast to lielāko kopīgo dalāmo un mazāko kopīgo dalītāju. Zinot dotā skaitļa n sadalījumu pirmreizinātājos, var viegli aprēķināt arī Eilera funkciju $\varphi (n)$ , kas ir RSA šifrēšanas algoritma pamatā.

Pierādījums

Pirmais šīs teorēmas pierādījums ir atrodams Eiklīda "Elementu" septītajā grāmatā (apgalvojumi 30 un 32).^[3]^[4] Taču pirmais no mūsdienu viedokļa pieņemamais pierādījums ir atrodams Karla Frīdriha Gausa darbā "Disquisitiones Arithmeticae", kas izdots 1801. gadā. ^[5]

Vispārinājumi

Aritmētikas pamatteorēmu var vispārināt dažādām algebriskām struktūram. Piemēram, tā izpildās daudziem gredzeniem. Šādus gredzenus sauc par faktoriālgredzeniem (angliski — unique factorization domain).^[6] Aritmētikas pamatteorēma triviāli izpildās jebkurā laukā.

Atsauces

↑ Pēteris Daugulis, Veselo skaitļu teorija^{[novecojusi saite]}, 2. lekcija, 11. lpp.
↑ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (fifth izd.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5. Skatīt nodaļas:
§1.3 "Statement of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 3. lpp.,
§2.10 "Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.,
§2.11 "Another Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.
↑ David E. Joyce, Euclid's Elements, Book VII: Proposition 30 un Proposition 32.
↑ Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements of Geometry Arhivēts 2009. gada 5. februārī, Wayback Machine vietnē., 218. un 219. lpp.
↑ (Mūsdienu izdevums) Gauss, Carl Friedrich; Clarke, A. A.; Waterhouse, William C. (1986), Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 9780387962542, 16. Teorēma, 6. lpp.
↑ Juris Smotrovs, Dalāmības teorija veseluma apgabalos, lekciju materiāli.

Ārējās saites

Proof of fundamental theorem of arithmetic Arhivēts 2010. gada 15. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic, MathWorld.
GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic, cut-the-knot.
Kevin R. Coombes, The Fundamental Theorem of Arithmetic.

[1] Pēteris Daugulis, Veselo skaitļu teorija^{[novecojusi saite]}, 2. lekcija, 11. lpp.

[2] Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (fifth izd.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5. Skatīt nodaļas:
§1.3 "Statement of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 3. lpp.,
§2.10 "Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.,
§2.11 "Another Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.

[3] David E. Joyce, Euclid's Elements, Book VII: Proposition 30 un Proposition 32.

[4] Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements of Geometry Arhivēts 2009. gada 5. februārī, Wayback Machine vietnē., 218. un 219. lpp.

[5] (Mūsdienu izdevums) Gauss, Carl Friedrich; Clarke, A. A.; Waterhouse, William C. (1986), Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 9780387962542, 16. Teorēma, 6. lpp.

[6] Juris Smotrovs, Dalāmības teorija veseluma apgabalos, lekciju materiāli.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]