Viviani teorēma

Viviani teorēma ir sakarība vienādmalu trijstūrī starp patvaļīgu punktu un trijstūra malu augstumiem pret šo punktu. Tā apgalvo, ka jebkur iekšā trijstūrī novietojot punktu $P$, mazo trijstūru augstumu summa būs vienāda ar lielā trijstūra augstumu $s+u+t=h$.

Viviani teorēma- vienādmalu trijstūrī mazo augstumu summa $s+u+t$ būs vienāda ar lielā trijstūra augstumu $h$

Pierādījums

Teorēmu var pierādīt izmantojot faktu, ka pie jebkura punkta $P$ lielā trijstūra laukums nemainās un pielīdzinot divas lielā laukuma formulas.

Trijustūris sastāv no virsotnēm $A,B,C$ un malas garums ir $a$. Atliekot punktu $P$ un savienojot to ar virsotnēm, rodas jauni trijstūri $APB,APC,BPC$. Šiem jaunajiem trijstūriem var novilkt augstumus $s,u,t$.

Lielajam trijstūrim laukumu var izteikt ar pamatu un augstumu: $S_{ABC}={\frac {a\cdot h}{2}}$, kur $a$ - trijstūra pamats, $h$ - trijstūra augstums, savukārt to pašu laukumu var pierakstīt kā mazo trijstūru summu: $S_{ABC}=S_{APB}+S_{APC}+S_{BPC}$. Pielīdzinot izteiksmes: ${\frac {a\cdot h}{2}}={\frac {a\cdot s}{2}}+{\frac {a\cdot u}{2}}+{\frac {a\cdot t}{2}}$, jeb noīsinot: $h=s+u+t$.

Teorēmas paplašinājums

Viviani teorēmas paplašinājums - regulārā daudzstūrī patvaļīgam punktam $P$ attālumu summa būs vienāda ar n reiz apotēma

Teorēmas apgrieztais apgalvojums arī ir patiess: ja trijstūrī mazo augstumu summa ir neatkarīga no punkta $P$, tad trijstūris ir vienādmalu.

Paralelogramā šī īpašība arī izpildās- jebkurā punktā iekšā paralelogramā attālumu summa starp punktu $P$ un paralelograma malām būs konstanta. Bez šī arī apgrieztais apgalvojums ir patiess: ja četrstūrī attālumu summa starp punktu $P$ un paralelograma malām ir konstanta, četrstūris ir paralelogramms.

Regulārā daudzstūrī šī īpašība arī izpildās- attālumu summa no punkta $P$ līdz visām malām būs neatkarīga no $P$ atrašanās vietas un skaitliski vienāda ar n reiz apotēma , kur n ir stūru skaits un apotēma ir ievilktā riņķa rādiuss.