Vienmērīgais sadalījums

Vienmērīgais sadalījums varbūtību teorijā ir nepātraukts varbūtību sadalījums. Vienmērīgi sadalīts gadījuma lielums pieņem vērtības galīgā intervālā $[a,b]$ un tā blīvuma funkcija šajā intervālā ir konstanta. Tas nozīmē, ka jebkuriem $[a,b]$ apakšintervāliem ar vienādu garumu piemīt vienāda varbūtība. Vienmērīgais sadalījums ir viens no vienkāršākajiem varbūtību sadalījumiem.

Vienmērīgais sadalījums

Blīvuma funkcija
Sadalījuma funkcija
Apzīmējums	${\mathcal {U}}_{[a,b]}$
Parametri	$-\infty <a<b<\infty$
Definēts	$[a,b]$
Blīvuma funkcija	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{ja }}x\in [a,b]\\0&{\text{citādi}}\end{cases}}$
Sadalījuma funkcija	${\begin{cases}0&{\text{ja }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{ja }}x\in [a,b]\\1&{\text{ja }}x>b\end{cases}}$
Vidējā vērtība	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Mediāna	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Moda	jebkura vērtība intervālā $(a,b)$
Dispersija	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Vidējā absolūtā novirze	${\tfrac {1}{4}}(b-a)$
Asimetrijas koeficients	$0$
Ekscesa koeficients	$-{\tfrac {6}{5}}$
Entropija	$\log(b-a)$
Momentu ģenerējošā funkcija	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{ja }}t\neq 0\\1&{\text{ja }}t=0\end{cases}}$
Raksturīgā funkcija	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}}&{\text{ja }}t\neq 0\\1&{\text{ja }}t=0\end{cases}}$

Vienmērīgā sadalijuma blīvuma funkcija ir

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{ja }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0,&{\text{ja }}x<a\ {\text{ vai }}\ x>b.\end{cases}}$

Redzams, ka blīvuma funkcija nav atkarīga no gadījuma lieluma, līdz ar to intervālā $[a,b]$ tā ir konstanta. Atbilstošā sadalījuma funkcija ir

$F(x)={\begin{cases}0,&{\text{ja }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}},&{\text{ja }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1,&{\text{ja }}x>b.\end{cases}}$

Vienmērīgi sadalīta gadījuma lieluma $X$ matemātiskā cerība $\operatorname {E} [X]={\frac {b+a}{2}}$, bet dispersija $\operatorname {D} [X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$.

Visbiežāk tiek izmantots standarta vienmērīgais sadalījums, kura parametri $a=0$ un $b=1$. Šī sadalijuma blīvuma funkcija intervālā $[a,b]$ $f(x)=1$, tā matemātiskā cerība ir vienāda ar ${\frac {1}{2}}$. To plaši izmanto nejaušu skaitļu ģeneratoros — ja tiek ģenerēts nejaušs skaitlis intervālā $[0,1]$, tad šim skaitlim piemīt standarta vienmērīgais sadalījums.

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Vienmērīgais sadalījums.
• Encyclopedia of Mathematics ieraksts (angliski)
• Wolfram Mathworld ieraksts (angliski)