Skaitļa kvadrāts

Skaitļa kvadrāts ir skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa reizinājums ar sevi. Piemēram, 9 ir skaitlis kvadrātā, jo tas ir vienāds ar 3² un to var rakstīt kā 3 × 3.

Skaitļus kvadrātā n skaitlim pieraksta kā n × n vai biežāk sastopamo, kāpināto n². Nosaukums kvadrāts nāk no figūras nosaukuma, jo kvadrāta laukums ir skaitlis reizināts ar sevi, jeb kvadrātam ar sānu garumu n ir laukums n².

Kvadrātveida skaitļi ir nenegatīvi . Tas ir, skaitlis kvadrātā vienmēr būs lielāks vai vienāds ar 0. Skaitļus sauc par skaitļiem kvadrātā, ja tos ievietojot kvadrātsaknē rodās vesels skaitlis. Piemēram, ${\sqrt {9}}=3,$ tādēļ 9 ir skaitlis kvadrātā.

Nenegatīva skaitļa n, n-tais kvadrāts ir n². Ja tiek rēķnāts ar racionāliem skaitļiem, tad to kvadrāts ir divu kvadrātu veselu skaitļu attiecība, piemēram, kvadrāts, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ .

Piemēri

Kvadrāti, kas ir mazāki par 60 ² = 3600:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

Formulas

Atstarpe starp blakus esošiem skaitļu kvadrātiem ir:

n² − (n − 1)² = 2n − 1, kur n ir lielākais skaitlis.

Tāpat ir iespējams iegūt skaitļa kvadrātu saskaitot kopā pēdējā skaitļa kvadrātu ar pēdējo skaitli pašreizējo skaitli:

n² = (n − 1)² + (n − 1) + n .

Īpašības

Skaitlis m ir skaitlis kvadrātā tikai tad, ja m punktus var salikt kvadrātā.

Skaitļu kvadrāts ir vienāds ar pirmo n nepāra skaitļu summu. Formula ir šāda:

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Piemēram, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Pirmo n veselo nepāra skaitļu summa ir n ² . 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n² . 3D tetraedra animācija.

Skaitļa kvadrāts - 1 vienmēr ir reizinājums ${\sqrt {m}}-1$ un ${\sqrt {m}}+1$ (piemēram, 8 × 6 ir 48, bet 7 ² ir 49). Izņēmums 3, kurš ir vienīgais pirmskaitlis, kas ir par vienu mazākas kā kvadrāts.

Decimālajā skaitīšanas sistēmā, skaitļa kvadrāts var beigties tikai ar cipariem 0, 1, 4, 5, 6 vai 9 šādi:

• ja skaitļa pēdējais cipars ir 0, tā kvadrāts beigsies ar 0 (pēdējie divi cipari būs 00);
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 1 vai 9, tā kvadrāts beigisies ar 1;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 2 vai 8, tā kvadrāts beigsies ar 4;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 3 vai 7, tā kvadrāts beigsies ar 9;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 4 vai 6, tā kvadrāts beigsies ar 6;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 5, tā kvadrāts beidzas ar 5 (pēdējie divi cipari būs 25).

Summas formula pirmajiem n kvadrātiem:

$\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.$