Kvadrātfunkcija

Kvadrātfunkcija ir funkcija, kuru apraksta vienādojums , kur a,b,c ∈ R un a≠0. [1] Funkcijas grafiks ir parabola. [2]

Šīs funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi reālie skaitļi.

Saknes un diskriminantsLabot

Funkcija ar divām saknēm
Funkcija ar vienu sakni
Funkcija bez saknēm

Funkcijas saknes jeb nulles nosaka funkcijas x vērtības krustpunktā ar abscisu. Sakņu skaits var būt dažāds, un tas ir atkarīgs no diskriminanta vērtības. [3]

Diskriminantu var aprēķināt pēc formulas :  

  • Ja   , tad vienādojumam ir 2 saknes,
  • Ja   , vienādojumam ir viena sakne,
  • bet, ja   , sakņu nav. [4] [5]

Saknes var aprēķināt pēc formulas [6] :
      

Vai noteikt pēc Vjeta teorēmas [7] :
      
      

Krustpunkts ar y asiLabot

Lai aprēķinātu koordinātas krustpunktam ar y asi funkcijas vienādojumā x vietā ievieto 0.

Piemēram:

 

 

 

 

Funkcijas   grafiks krusto y asi punktā (0;1)

Krustpunktam ar y asi simetriska punkta x koordinātas, kas pieder pie grafika, var aprēķināt pēc formulas  

Parabolas zaru vērsumsLabot

Parabolas zari ir vērsti uz augšu
Parabolas zari ir vērsti uz leju

Parabolas zaru vērsumu nosaka koeficients pie kvadrātlocekļa.

Ja  , zari ir vērsti uz augšu (piemēram,  ), bet ja  , zari ir vērsti uz leju (piemēram,  ). [8]

Parabolas virsotnes punkts un maksimālā, minimālā vērtībaLabot

Jebkurai parabolai ir virsotne, kuru visbiežāk apzīmē ar (xv;yv) vai (xo;yo).

Virsotnes x koordinātas aprēķina pēc formulas:
      

Bet virsotnes y koordinātas iegūst ievietojot x virsotnes koordinātas funkcijas vienādojumā:
      

Virsotnes y koordināta norāda uz funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību.

Ja zari ir vērsti uz augšu, tad virsotnes y koordināta norāda uz minimālo funkcijas vērtību un maksimālā vērtība nav nosakāma, bet ja zari ir vērsti uz leju, tad virsotnes y koordināta norāda uz maksimālo funkcijas vērtību un minimālā vērtība nav nosakāma. [9]

Paritāte Labot

 
  un  grafiki

Kvadrātfunkcija nevar būt nepāra funkcija.

Tā ir vai nu pāra vai ne pāra, ne nepāra.

 

Paritātes noteikšana pēc funkcijas vienādojumaLabot

Funkcija ir pāra, ja:
      

 

Piemēram, pārbaudīsim vai funkcija   ir pāra funkcija:


      
      

 

Abas puses sakrīt, tātad funkcija   ir pāra funkcija.

Tagad pārbaudīsim vai funkcija   ir pāra funkcija:


      
      
      

 

Abas puses nesakrīt, tātad funkcija   nav pāra funkcija, jeb ir ne pāra, ne nepāra funkcija.

Paritātes noteikšana pēc funkcijas grafikaLabot

Funkcija ir pāra, ja tā ir simetriska pret y asi jeb  ,

 

 

Šīs ir pāra funkcijas

 

 

Šīs ir ne pāra, ne nepāra funkcijas

Vienādzīmju intervāliLabot

Funkcijas

 

grafika zari ir vērsti uz augšu

Funkcijas

 

grafika zari ir vērsti uz leju

Funkcijas

 

grafika zari ir vērsti uz augšu

Funkcijas

 

grafika zari ir vērsti uz leju

Ar zaļu ir iekrāsotas funkcijas pozitīvās vērtības, ar sarkanu - negatīvās.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu un  , tad    
                          un    

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju un  , tad    
                       un    

Vienādzīmju intervāli funkcijām bez saknēmLabot

Ja funkcijas grafiks atrodas tikai virs x ass, tad funkcija visā D.A. ir pozitīva.

Bet ja funkcijas grafiks atrodas tikai zem y ass, tad funkcija ir visā D.A. negatīva.

Piemēram, funkcijai   sakņu nav un parabolas zari ir vērsti uz augšu, tas nozīmē, ka tai ir tikai viens vienādzīmju intervāls  , ja  

MonotonitāteLabot

Parabolas zari ir vērsti uz augšu
Parabolas zari ir vērsti uz leju
Zaļais apgabals apzīmē intervālu, kurā funkcija ir augoša, bet sarkanais - , kurā funkcija ir dilstoša.

Funkcija ir augoša, ja palielinoties x vērtībām, palielinās y vērtības.

Funkcija ir dilstoša, ja palielinoties x vērtībām, samazinās y vērtības.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad funkcija ir dilstoša intervālā  , bet augoša  .

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju, tad funkcija ir dilstoša intervālā  , bet augoša  .

PārbīdesLabot

Katrs koeficients veic kādu noteiktu pārbīdi.

Koeficients Kādu pārbīdi tas veic Attēls
a Mainot a koeficientu, mainās zaru vērsums un platums.

Zari ir vērsti uz augšu, ja  , bet uz leju, ja  .

Jo lielāks a koeficients, jo tuvāk parabolas zari atradīsies pie funkcijas simetrijas ass.

b

B koeficients nosaka pārbīdi pa x asi.

Parabola būs pa kreisi no y ass, ja  , parabolas virsotne atradīsies uz x ass, ja  ,

parabola būs pa labi no y ass, ja  .

c

C koeficients nosaka pārbīdi pa y asi un nosaka y koordinātas krustpunktā ar y asi.

Ja  , tad parabola tiks virzīta uz augšu pa y asi, ja  , tad parabola tiks virzīta uz leju pa x asi,

bet ja   parabola krustos y asi punktā (0;0).

Skatīt arīLabot

AtsaucesLabot

  1. "Beyond the Quadratic Formula", Ron Irving, 21. lpp, ISBN 978-0883857830
  2. "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 616 lpp., ISBN 978-1133365419
  3. "Elementary and Intermediate Algebra", Ron Larson, 638. lpp, ISBN 978-0547102160
  4. "Beyond the Quadratic Formula", Ron Irving, 29. lpp, ISBN 978-0883857830
  5. "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 582 lpp., ISBN 978-1133365419"
  6. "Technical Shop Mathematics", Thomas Achatz, John G. Anderson, Kathleen McKenzie, 276. lpp, ISBN 978-0736087360
  7. "Quadratic Equation" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html, Weisstein, Eric W.
  8. "Mathematics: quadratic equations.: How solve a quadratic equation.", Marilù Garo, 5. lpp
  9. "Introductory and Intermediate Algebra: An Applied Approach", Richard Aufmann, Joanne Lockwood, 622 lpp., ISBN 978-1133365419

Ārējās saitesLabot