Kvadrātfunkcija

Kvadrātfunkcija ir funkcija, kuru apraksta vienādojums $y={ax^{2}+bx+c}$, kur a,b,c ∈ R un a≠0. Funkcijas grafiks ir parabola.

Šīs funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi reālie skaitļi.

Saknes un diskriminants

Funkcija ar divām saknēm

Funkcija ar vienu sakni

Funkcija bez saknēm

Funkcijas saknes jeb nulles nosaka funkcijas x vērtības krustpunktā ar abscisu. Sakņu skaits var būt dažāds, un tas ir atkarīgs no diskriminanta vērtības.

Diskriminantu var aprēķināt pēc formulas : $D={b^{2}-4ac}$

• Ja $D>0$ , tad vienādojumam ir 2 saknes,
• Ja $D=0$ , vienādojumam ir viena sakne,
• bet, ja $D<0$ , sakņu nav.

Saknes var aprēķināt pēc formulas  :
     $x_{\text{1,2}}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}$

Vai noteikt pēc Vjeta teorēmas  :
     ${x_{1}*x_{2}}={\frac {c}{a}}$
     ${x_{1}+x_{2}}={-{\frac {b}{a}}}$

Krustpunkts ar y asi

Lai aprēķinātu koordinātas krustpunktam ar y asi funkcijas vienādojumā x vietā ievieto 0.

Piemēram:

$y={x^{2}+3x+1}$

$y={0^{2}+3*0+1}$

$y={0+0+1}$

$y=1$

Funkcijas $y={x^{2}+3x+1}$ grafiks krusto y asi punktā (0;1)

Krustpunktam ar y asi simetriska punkta x koordinātas, kas pieder pie grafika, var aprēķināt pēc formulas $x={x_{y}+2x_{v}}$

Parabolas zaru vērsums

Parabolas zari ir vērsti uz augšu

Parabolas zari ir vērsti uz leju

Parabolas zaru vērsumu nosaka koeficients pie kvadrātlocekļa.

Ja $a>0$, zari ir vērsti uz augšu (piemēram, $y={x^{2}}$), bet ja $a<0$, zari ir vērsti uz leju (piemēram, $y={-x^{2}}$).

Parabolas virsotnes punkts un maksimālā, minimālā vērtība

Jebkurai parabolai ir virsotne, kuru visbiežāk apzīmē ar (x_v;y_v) vai (x_o;y_o).

Virsotnes x koordinātas aprēķina pēc formulas:
     $x_{\text{v}}={-{\frac {b}{2a}}}$

Bet virsotnes y koordinātas iegūst ievietojot x virsotnes koordinātas funkcijas vienādojumā:
     $y_{\text{v}}={ax_{v}^{2}+bx_{v}+c}$

Virsotnes y koordināta norāda uz funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību.

Ja zari ir vērsti uz augšu, tad virsotnes y koordināta norāda uz minimālo funkcijas vērtību un maksimālā vērtība nav nosakāma, bet ja zari ir vērsti uz leju, tad virsotnes y koordināta norāda uz maksimālo funkcijas vērtību un minimālā vērtība nav nosakāma.

Paritāte 

$y={x^{2}+3x-6}$ un$y={x^{2}-3x-6}$ grafiki

Kvadrātfunkcija nevar būt nepāra funkcija.

Tā ir vai nu pāra vai ne pāra, ne nepāra.

 

Paritātes noteikšana pēc funkcijas vienādojuma

Funkcija ir pāra, ja:
     $f(x)=f(-x)$

 

Piemēram, pārbaudīsim vai funkcija $y={x^{2}-6}$ ir pāra funkcija:

     ${x^{2}-6}={(-x)^{2}-6}$
     ${x^{2}-6}={x^{2}-6}$

 

Abas puses sakrīt, tātad funkcija $y={x^{2}-6}$ ir pāra funkcija.

Tagad pārbaudīsim vai funkcija $y={x^{2}+3x-6}$ ir pāra funkcija:

     $f(x)={x^{2}+3x-6}$
     $f(-x)={(-x)^{2}+3*(-x)-6}$
     ${x^{2}+3x-6}\neq {x^{2}-3x-6}$

 

Abas puses nesakrīt, tātad funkcija $y={x^{2}+3x-6}$ nav pāra funkcija, jeb ir ne pāra, ne nepāra funkcija.

Paritātes noteikšana pēc funkcijas grafika

Funkcija ir pāra, ja tā ir simetriska pret y asi jeb $x_{v}=0$,

${\color {blue}{y={{\frac {1}{10}}x^{2}-4}}}$

${\color {red}{y={-5x^{2}+8}}}$

Šīs ir pāra funkcijas

${\color {red}{y={-x^{2}+{\frac {2}{3}}x+6}}}$

${\color {blue}{y={{\frac {4}{5}}x^{2}+5x+3}}}$

Šīs ir ne pāra, ne nepāra funkcijas

Vienādzīmju intervāli

Funkcijas

$y={x^{2}+4x+5}$

grafika zari ir vērsti uz augšu

Funkcijas

$y={-x^{2}+2x-2}$

grafika zari ir vērsti uz leju

Funkcijas

$y={{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {6}{13}}x-{\frac {17}{20}}}$

grafika zari ir vērsti uz augšu

Funkcijas

$y={-6x^{2}-7x+4}$

grafika zari ir vērsti uz leju

Ar zaļu ir iekrāsotas funkcijas pozitīvās vērtības, ar sarkanu - negatīvās.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu un $D\geq 0$, tad $y>0,ja$ $x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$
                          un $y<0,ja$ $x\in (x_{1};x_{2})$

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju un $D\geq 0$, tad $y>0,ja$ $x\in (x_{1};x_{2})$
                       un $y<0,ja$ $x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Vienādzīmju intervāli funkcijām bez saknēm

Ja funkcijas grafiks atrodas tikai virs x ass, tad funkcija visā D.A. ir pozitīva.

Bet ja funkcijas grafiks atrodas tikai zem y ass, tad funkcija ir visā D.A. negatīva.

Piemēram, funkcijai $y={x^{2}+4x+5}$ sakņu nav un parabolas zari ir vērsti uz augšu, tas nozīmē, ka tai ir tikai viens vienādzīmju intervāls $y>0$, ja $x\in (+\infty ;-\infty )$

Monotonitāte

Parabolas zari ir vērsti uz augšu

Parabolas zari ir vērsti uz leju

Zaļais apgabals apzīmē intervālu, kurā funkcija ir augoša, bet sarkanais - , kurā funkcija ir dilstoša.

Funkcija ir augoša, ja palielinoties x vērtībām, palielinās y vērtības.

Funkcija ir dilstoša, ja palielinoties x vērtībām, samazinās y vērtības.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad funkcija ir dilstoša intervālā $x\in (-\infty ;x_{v})$, bet augoša $x\in (x_{v};+\infty )$.

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju, tad funkcija ir dilstoša intervālā $x\in (x_{v};+\infty )$, bet augoša $x\in (-\infty ;x_{v})$.

Pārbīdes

Katrs koeficients veic kādu noteiktu pārbīdi.

Koeficients	Kādu pārbīdi tas veic	Attēls
a	Mainot a koeficientu, mainās zaru vērsums un platums. Zari ir vērsti uz augšu, ja $a>0$, bet uz leju, ja $a<0$. Jo lielāks a koeficients, jo tuvāk parabolas zari atradīsies pie funkcijas simetrijas ass.
b	B koeficients nosaka pārbīdi pa x asi. Parabola būs pa kreisi no y ass, ja $b>0$, parabolas virsotne atradīsies uz x ass, ja $b=0$, parabola būs pa labi no y ass, ja $b<0$.
c	C koeficients nosaka pārbīdi pa y asi un nosaka y koordinātas krustpunktā ar y asi. Ja $c>0$, tad parabola tiks virzīta uz augšu pa y asi, ja $c<0$, tad parabola tiks virzīta uz leju pa x asi, bet ja $c=0$ parabola krustos y asi punktā (0;0).

Skatīt arī

• Kvadrātvienādojums
• Diskriminants
• Lineāra funkcija
• Funkcija

Ārējās saites

• Teorija par kvadrātfunkciju
• DZM materiāls par kvadrātfunckiju
• materiāli par kvadrātfunkciju atbilstoši 9. klases standartam
• Funkciju grafiku kalkulators (angļu valodā)