Ikosaedrs

Ikosaedrs (grieķu: eikosaedron, no eikosi — 'divdesmit' un hedron — 'vietas') jeb divdesmitskaldnis ir regulārs daudzskaldnis, kam ir 20 skaldnes, 30 šķautnes un 12 virsotnes. Katra tā skaldne ir regulārs trijstūris, visas šķautnes ir vienāda garuma. Ikosaedrs ir viens no pieciem Platona daudzskaldņiem. Tā duālais daudzskaldnis ir dodekaedrs.

Regulārs Ikosaedrs
(Spied šeit, lai aplūkotu rotējošu modeli)
Tips	Platona daudzskaldnis
Elementi	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Skaldņu skaits pēc malām	20{3}
Šlēfli simbols	{3,5} and s{3,3}
Vithofa simbols	5 | 2 3 | 3 3 2
Koksetera-Dinkina diagramma
Simetrijas	Ih un Td vai (*532) un (332)
Atsauces	U22, C25, W4
Īpašības	Regulārs izliekts deltahedron
Divplakņu leņķis	138.189685°
3.3.3.3.3 (Virsotnes figūra)	Dodekaedrs (duālais daudzskaldnis)
Izklājums

Izmēri

Ja regulāra ikosaedra šķautnes garums ir $a$, tad apvilktās sfēras (tās, kura pieskaras visām ikosaedra virsotnēm) rādiuss ir

$r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0,9510565163\cdot a$

un ievilktās sfēras (pieskaras katrai ikosaedra skaldnei) rādiuss ir

$r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0,7557613141\cdot a$,

un viduslīniju sfēras rādiuss, kura pieskaras katras šķautnes viduspunktam, ir

$r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0,80901699\cdot a$,

kur $\varphi$ (tiek apzīmēts arī ar $\tau$) ir zelta griezums.

Laukums un tilpums

Regulāra ikosaedra ar šķautnes garumu a virsmas laukums A un tilpums V ir:

$A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8,66025404a^{2}$

$V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2,18169499a^{3}$.

Dekarta koordinātas

Sekojošas Dekarta koordinātas uzrāda ikosaedra ar šķautnes garumu 2 virsotnes attiecībā pret centru:

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

kur φ = (1+√5)/2 ir zelta griezums (tiek apzīmēts arī ar τ).

Regulāra oktaedra 12 šķautnes var sadalīt ar zelta šķēlumu tā, ka rezultātā iegūtās virsotnes veido regulāru ikosaedru.

Zvaigžņveidīgi ikosaedri

Pavisam eksistē 59 zvaigžņveidīgo ikosaedru veidi. Lūk dažu veidu attēli:

Vēsture

Ikosaedrs grieķiem simbolizēja ūdeni. Iespējams, tādēļ, ka viņi pamanīja, ka ikosaedrs viegli veļas, tāpat kā plūstošs ūdens.

Skatīt arī

• Dodekaedrs

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Icosahedron, MathWorld.