Gausa teorēma

Gausa teorēma elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma , tad elektriskā lauka intensitātes plūsma caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam virsmas ierobežotajā tilpumā.

NosaukumsLabot

Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas žiperīgas teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja[1] 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs,[2] kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.[3]

Skalārā formaLabot

 
kur
  - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
  8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte   visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

 
kur
  - sfēras virsmas laukums m2

Tā kā

 
 

un

 

tad

 

Vektoriālā formaLabot

 
kur
  - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
  - elektriskā lauka intensitāte (N/C)
  - virsmas vektors (m2)
  - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
  8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījumsLabot

 

Savukārt

 
kur   - virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu   ir

 
  •  
  - virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir  
  - leņķis starp intensitātes vektoru   un normāles vektoru  

Līdz ar to formula

 

pārvēršas šādi:

 

  var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

 
  - telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

 

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu  , tas ir:

 
  sr
 

Gausa teorēmas secinājumiLabot

  • Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
  • Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu   kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam  , pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu  , kurā  

AtsaucesLabot

  1. Carl Friedrich Gauss. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1).
  2. Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques" (French). Mémoires de l'Académie de Berlin: 125.
  3. Pierre Duhem. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (French). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.